The Structure of Models of Peano Arithmetic

Contents......Page 12
1.1 Notation and basic definitions......Page 16
1.2 Skolem closures......Page 19
1.3 End extensions and cofinal extensions......Page 20
1.4 Coding bounded sets and classes......Page 21
1.5 Standard systems......Page 23
1.6 Types......Page 24
1.7 Blass–Gaifman and Ehrenfeucht lemmas......Page 25
1.8 Recursive saturation and arithmetic saturation......Page 27
1.9 Satisfaction classes and resplendency......Page 29
1.10 Cuts and gaps in recursively saturated models......Page 31
1.11 Truth definitions and restricted saturation......Page 33
1.12 Arithmetized Completeness Theorem......Page 34
1.13 Friedman’s Embedding Theorem......Page 35
1.14 Exercises......Page 36
1.15 Remarks & References......Page 37
2.1 Simple extensions......Page 40
2.1.1 Minimal extensions......Page 42
2.1.2 Superminimal extensions......Page 44
2.1.3 Greatest common initial segments......Page 46
2.2 The MacDowell–Specker Theorem......Page 48
2.2.2 Rather classless models......Page 52
2.2.3 Ramsey’s Theorem in ACA[sub(0)]......Page 53
2.3 Amalgamations......Page 54
2.4 Nonelementary extensions......Page 58
2.5 Exercises......Page 60
2.6 Remarks & References......Page 62
3.1.1 Indiscernible types......Page 64
3.1.2 n-indiscernible types......Page 68
3.1.3 End-extensional types......Page 70
3.1.4 Rare types......Page 71
3.2.1 Selective types......Page 74
3.2.2 Characterizing minimal types......Page 76
3.2.3 An example......Page 80
3.3 Canonical extensions......Page 81
3.3.1 Products of types......Page 82
3.3.2 The automorphism group......Page 84
3.3.3 The substructure lattice......Page 87
3.4 Resolute types......Page 88
3.5 The Paris–Mills theorems......Page 93
3.6 Exercises......Page 99
3.7 Remarks & References......Page 103
4.1 Lattices......Page 104
4.2 Substructure lattices......Page 109
4.3 Finite distributive lattices, I......Page 112
4.4 Finite distributive lattices, II......Page 117
4.5 Finite lattices......Page 120
4.6 The pentagon lattice......Page 137
4.7 Infinite distributive lattices......Page 142
4.8 Exercises......Page 145
4.9 Remarks & References......Page 147
5.1 Solid bases and AH-sets......Page 150
5.1.1 Controlling indiscernibles and automorphisms......Page 151
5.1.2 AH-sets......Page 152
5.1.3 The proof......Page 154
5.1.4 True arithmetic......Page 157
5.2 Omitting indiscernibles......Page 159
5.3 Hanf numbers......Page 160
5.4 The automorphism group......Page 164
5.5 Indiscernible generators......Page 166
5.6 Exercises......Page 171
5.7 Remarks & References......Page 172
6.1 Generics......Page 173
6.2.1 Definition......Page 175
6.2.2 n-Generics......Page 176
6.2.3 Prime expansions......Page 177
6.2.4 The Low Basis Theorem......Page 178
6.3 Product forcing......Page 180
6.4 MacDowell–Specker vs the uncountable......Page 182
6.4.1 No end extension......Page 183
6.4.2 Extensions with mutual generics......Page 184
6.4.3 Getting many classes......Page 187
6.5 Perfect generics......Page 190
6.6 Exercises......Page 193
6.7 Remarks & References......Page 194
7 Cuts......Page 195
7.1 Semiregular cuts......Page 196
7.1.1 Semiregularity and WKL[sub(0)]......Page 198
7.2 Regular cuts......Page 199
7.3 Many faces of strongness......Page 204
7.4 Why PA?......Page 209
7.4.1 Schemes axiomatizing arithmetic......Page 211
7.5 Exercises......Page 215
7.6 Remarks & References......Page 216
8.1 Moving undefinable elements......Page 217
8.2 Moving cuts and classes......Page 218
8.3 Moving gaps......Page 220
8.4 Back-and-forth......Page 221
8.5 Extending automorphisms......Page 225
8.6 Maximal automorphisms......Page 229
8.7 Fixing strong cuts......Page 232
8.8 Topology on the automorphism group......Page 234
8.9 Maximal point stabilizers......Page 236
8.10 Arithmetic saturation and open subgroups......Page 238
8.11 Exercises......Page 240
8.12 Remarks & References......Page 242
9.1 Generic automorphisms......Page 245
9.2 Dense conjugacy classes......Page 250
9.3 Small index property......Page 254
9.3.1 The cofinality of the automorphism group......Page 257
9.3.2 Property FA......Page 259
9.4 Coding the standard system......Page 260
9.5 The spectrum of automorphism groups......Page 266
9.6 Exercises......Page 268
9.7 Remarks & References......Page 269
10.1 ω[sub(1)]-Like recursively saturated models......Page 271
10.2 Similar nonisomorphic models......Page 275
10.3 Finitely determinate structures and PA(aa)......Page 280
10.4 Ramsey quantifiers and PA(Q[sup(2)])......Page 284
10.5 Rigid recursively saturated models......Page 288
10.6 Isomorphic + nonisomorphic ×......Page 290
10.7 Exercises......Page 291
10.8 Remarks & References......Page 293
11.1 On (k, k)-cuts......Page 296
11.2 Saturation of the order reduct......Page 297
11.2.2 N[sub(1)]-saturation......Page 298
11.2.3 k-saturation for k > N[sub(1)]......Page 299
11.3 Exercises......Page 302
11.4 Remarks & References......Page 303
12 Twenty Questions......Page 304
References......Page 310
N......Page 322
W......Page 323
G......Page 324
S......Page 325
W......Page 326