The Riemann-Hilbert Problem: A Publication from the Steklov Institute of Mathematics Adviser: Armen Sergeev

این کتاب به مسئله بیست و یکم هیلبرت (مسئله ریمان-هیلبرت) اختصاص دارد که به نظریه سیستم های خطی معادلات دیفرانسیل معمولی در حوزه مختلط تعلق دارد. مشکل مربوط به وجود یک سیستم فوکسی با تکینگی‌ها و تک‌درمی‌های تجویز شده است. هیلبرت متقاعد شده بود که چنین سیستمی همیشه وجود دارد. با این حال، این یک مورد نادر از یک پیش‌بینی اشتباه است که توسط هیرن انجام شده است. در سال 1989 نویسنده دوم (A.B.) یک مثال متضاد را کشف کرد، بنابراین 1 یک راه حل منفی برای مسئله بیست و یکم هیلبرت به دست آورد. پس از اینکه متوجه شدیم که برخی از «داده‌ها» (تکینگی‌ها و تک‌درومی) را می‌توان از یک سیستم فوشسی به‌دست آورد و برخی دیگر را نمی‌توان، مجبور می‌شویم دیدگاه خود را تغییر دهیم. برای دقیق‌تر کردن اصطلاحات، مشکل ریمان-هیلبرت را برای این داده‌ها مطرح می‌کنیم: آیا سیستم فوشیایی وجود دارد که این تکینگی‌ها و تک‌درمی‌ها را داشته باشد؟ نسخه معاصر مسئله 21 هیلبرت، یافتن شرایطی است که دلالت بر راه حل مثبت یا منفی برای مسئله ریمان-هیلبرت دارد.

This book is devoted to Hilbert's 21st problem (the Riemann-Hilbert problem) which belongs to the theory of linear systems of ordinary differential equations in the complex domain. The problem concems the existence of a Fuchsian system with prescribed singularities and monodromy. Hilbert was convinced that such a system always exists. However, this tumed out to be a rare case of a wrong forecast made by hirn. In 1989 the second author (A.B.) discovered a counterexample, thus 1 obtaining a negative solution to Hilbert's 21st problem. After we recognized that some "data" (singularities and monodromy) can be obtai­ ned from a Fuchsian system and some others cannot, we are enforced to change our point of view. To make the terminology more precise, we shaII caII the foIIowing problem the Riemann-Hilbert problem for such and such data: does there exist a Fuchsian system having these singularities and monodromy? The contemporary version of the 21 st Hilbert problem is to find conditions implying a positive or negative solution to the Riemann-Hilbert problem.