The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis

در حالی که اکثر متون در مورد تجزیه و تحلیل واقعی به فرض اعداد واقعی یا پرداختن کوتاه به آنها بسنده می کنند، این متن مطالعه جدی سیستم اعداد واقعی و مسائلی را که آشکار می کند انجام می دهد. تجزیه و تحلیل به اعداد واقعی برای مدلسازی خط و پشتیبانی از مفاهیم تداوم و اندازه گیری نیاز دارد. اما این الزامات به ظاهر ساده منجر به مسائل عمیق تئوری مجموعه ها می شود - شمارش ناپذیری، اصل انتخاب و کاردینال های بزرگ. در واقع، تقریباً تمام مفاهیم نظریه مجموعه‌های نامتناهی برای درک صحیح اعداد حقیقی و در نتیجه خود تحلیل مورد نیاز است.

با تمرکز بر جنبه‌های نظری مجموعه‌ها، این متن باعث می‌شود بهترین دو جهان: مقدمه‌ای ساده برای نظریه مجموعه‌ها را با توضیحی از ماهیت تحلیل ترکیب می‌کند - مطالعه فرآیندهای بی‌نهایت روی اعداد واقعی. این برای دانشجویان ارشد در نظر گرفته شده است، اما برای دانشجویان فارغ التحصیل و ریاضیدانان حرفه ای نیز جذاب خواهد بود که تا به حال به \"فرض گرفتن\" اعداد واقعی راضی بوده اند. پیش نیازهای آن حساب دیفرانسیل و انتگرال و ریاضیات پایه است.

تاریخ ریاضی در متن بافته شده است و توضیح می دهد که چگونه مفاهیم عدد واقعی و بی نهایت برای برآورده کردن نیازهای تجزیه و تحلیل از دوران باستان تا اواخر قرن بیستم توسعه یافته است. این ارائه غنی تاریخ، همراه با پیشینه ای از شواهد، مثال ها، تمرین ها، و نکات توضیحی، به انگیزه خواننده کمک می کند. مطالب ارائه شده شامل مباحث کلاسیک از دروس تئوری مجموعه ها و دروس تحلیل واقعی است، مانند مجموعه های قابل شمارش و غیرقابل شمارش، ترتیبات قابل شمارش، مسئله پیوسته، قضیه کانتور- شرودر-برنشتاین، توابع پیوسته، همگرایی یکنواخت، لم زورن، مجموعه های بورل، بایر. توابع، اندازه گیری Lebesgue، و توابع قابل ادغام ریمان.

While most texts on real analysis are content to assume the real numbers, or to treat them only briefly, this text makes a serious study of the real number system and the issues it brings to light. Analysis needs the real numbers to model the line, and to support the concepts of continuity and measure. But these seemingly simple requirements lead to deep issues of set theory—uncountability, the axiom of choice, and large cardinals. In fact, virtually all the concepts of infinite set theory are needed for a proper understanding of the real numbers, and hence of analysis itself.

By focusing on the set-theoretic aspects of analysis, this text makes the best of two worlds: it combines a down-to-earth introduction to set theory with an exposition of the essence of analysis—the study of infinite processes on the real numbers. It is intended for senior undergraduates, but it will also be attractive to graduate students and professional mathematicians who, until now, have been content to "assume" the real numbers. Its prerequisites are calculus and basic mathematics.

Mathematical history is woven into the text, explaining how the concepts of real number and infinity developed to meet the needs of analysis from ancient times to the late twentieth century. This rich presentation of history, along with a background of proofs, examples, exercises, and explanatory remarks, will help motivate the reader. The material covered includes classic topics from both set theory and real analysis courses, such as countable and uncountable sets,  countable ordinals, the continuum problem, the Cantor–Schröder–Bernstein theorem, continuous functions, uniform convergence, Zorn's lemma, Borel sets, Baire functions, Lebesgue measure, and Riemann integrable functions.