The Pullback Equation for Differential Forms

یک سوال مهم در هندسه و تجزیه و تحلیل این است که بدانیم چه زمانی دو شکل k f و g از طریق تغییر متغیرها معادل هستند. بنابراین مشکل پیدا کردن یک نقشه φ است تا معادله عقب نشینی را برآورده کند: φ*(g) = f.

به عبارت فیزیکی تر، سوال مورد بررسی را می توان به عنوان یک مشکل حمل و نقل انبوه در نظر گرفت. این مشکل در موارد k = 2 و k = n توجه قابل توجهی به خود جلب کرده است، اما زمانی که 3 ≤ k i>≤ n–1. مونوگراف حاضر اولین مطالعه جامع این معادله را ارائه می‌کند.

کار با بازگویی ویژگی‌های مختلف فرم‌های بیرونی و فرم‌های دیفرانسیل آغاز می‌شود که در سراسر کتاب مفید هستند. از آنجا به ارائه تجزیه کلاسیک هاج-موری و ارائه چندین نسخه از لم پوانکاره می‌پردازد. هسته اصلی کتاب مورد k = n و سپس مورد 1≤ k ≤ n- را مورد بحث قرار می دهد. 1 با توجه ویژه به حالت k = 2، که در هندسه سمپلتیک اساسی است. تاکید ویژه بر نظم بهینه، نتایج کلی و داده های مرزی داده شده است. بخش آخر کار به تفصیل فضاهای هلدر را مورد بحث قرار می دهد. تمام نتایج ارائه شده در اینجا اساساً کلاسیک هستند، اما نمی توان آنها را در یک کتاب یافت. این بخش ممکن است به عنوان مرجعی در مورد فضاهای هلدر عمل کند و بنابراین برای ریاضیدانان بسیار فراتر از کسانی که فقط به معادله عقب نشینی علاقه دارند مفید خواهد بود.

معادله Pullback برای فرم های متفاوت یک تک نگاری مختصر و مستقل است که هم برای هندسه شناسان و هم برای تحلیلگران در نظر گرفته شده است. این کتاب ممکن است به عنوان یک مرجع ارزشمند برای محققان یا یک متن تکمیلی برای دوره های تحصیلات تکمیلی یا سمینارها باشد.

An important question in geometry and analysis is to know when two k-forms f and g are equivalent through a change of variables. The problem is therefore to find a map φ so that it satisfies the pullback equation: φ*(g) = f.

In more physical terms, the question under consideration can be seen as a problem of mass transportation. The problem has received considerable attention in the cases k = 2 and k = n, but much less when 3 ≤ k ≤ n–1. The present monograph provides the first comprehensive study of the equation.

The work begins by recounting various properties of exterior forms and differential forms that prove useful throughout the book. From there it goes on to present the classical Hodge–Morrey decomposition and to give several versions of the Poincaré lemma. The core of the book discusses the case k = n, and then the case 1≤ k ≤ n–1 with special attention on the case k = 2, which is fundamental in symplectic geometry. Special emphasis is given to optimal regularity, global results and boundary data. The last part of the work discusses Hölder spaces in detail; all the results presented here are essentially classical, but cannot be found in a single book. This section may serve as a reference on Hölder spaces and therefore will be useful to mathematicians well beyond those who are only interested in the pullback equation.

The Pullback Equation for Differential Forms is a self-contained and concise monograph intended for both geometers and analysts. The book may serve as a valuable reference for researchers or a supplemental text for graduate courses or seminars.