The Princeton companion to mathematics

The Princeton Companion to Mathematics......Page 4
Contents......Page 6
Preface......Page 10
Contributors......Page 18
I.1 What Is Mathematics About?......Page 24
I.2 The Language and Grammar of Mathematics......Page 31
I.3 Some Fundamental Mathematical Definitions\n......Page 39
I.4 The General Goals of Mathematical Research......Page 70
II.1 From Numbers to Number Systems......Page 100
II.2 Geometry......Page 106
II.3 The Development of Abstract Algebra......Page 118
II.4 Algorithms......Page 129
II.5 The Development of Rigor in Mathematical Analysis......Page 140
II.6 The Development of the Idea of Proof......Page 152
II.7 The Crisis in the Foundations of Mathematics......Page 165
III.1 The Axiom of Choice......Page 180
III.3 Bayesian Analysis......Page 182
III.4 Braid Groups......Page 183
III.5 Buildings......Page 184
III.6 Calabi–Yau Manifolds......Page 186
III.8 Categories......Page 188
III.9 Compactness and Compactification\n......Page 190
III.10 Computational Complexity Classes......Page 192
III.11 Countable and Uncountable Sets......Page 193
III.14 Designs......Page 195
III.15 Determinants......Page 197
III.16 Differential Forms and Integration......Page 198
III.17 Dimension......Page 203
III.18 Distributions......Page 207
III.19 Duality......Page 210
III.21 Elliptic Curves......Page 213
III.22 The Euclidean Algorithm and Continued Fractions......Page 214
III.23 The Euler and Navier–Stokes Equations......Page 216
III.24 Expanders......Page 219
III.25 The Exponential and Logarithmic Functions......Page 222
III.26 The Fast Fourier Transform......Page 225
III.27 The Fourier Transform......Page 227
III.28 Fuchsian Groups......Page 231
III.29 Function Spaces......Page 233
III.31 The Gamma Function......Page 236
III.32 Generating Functions......Page 237
III.35 Hamiltonians......Page 238
III.36 The Heat Equation......Page 239
III.37 Hilbert Spaces......Page 242
III.40 The Ideal Class Group......Page 244
III.41 Irrational and Transcendental Numbers......Page 245
III.43 Jordan Normal Form......Page 246
III.44 Knot Polynomials......Page 248
III.46 The Leech Lattice......Page 250
III.47 L-Functions......Page 251
III.48 Lie Theory......Page 252
III.49 Linear and Nonlinear Waves and Solitons......Page 257
III.50 Linear Operators and Their Properties......Page 262
III.51 Local and Global in Number Theory......Page 264
III.54 Matroids......Page 267
III.55 Measures......Page 269
III.56 Metric Spaces......Page 270
III.57 Models of Set Theory......Page 271
III.58 Modular Arithmetic......Page 272
III.59 Modular Forms......Page 273
III.62 Normed Spaces and Banach Spaces......Page 275
III.63 Number Fields......Page 277
III.64 Optimization and Lagrange Multipliers......Page 278
III.65 Orbifolds......Page 280
III.67 The Peano Axioms......Page 281
III.68 Permutation Groups......Page 282
III.70 π......Page 284
III.71 Probability Distributions......Page 286
III.73 Quadratic Forms......Page 290
III.74 Quantum Computation......Page 292
III.75 Quantum Groups......Page 295
III.76 Quaternions, Octonions, and Normed Division Algebras......Page 298
III.78 Ricci Flow......Page 302
III.79 Riemann Surfaces......Page 305
III.80 The Riemann Zeta Function......Page 306
III.81 Rings, Ideals, and Modules......Page 307
III.83 The Schrödinger Equation......Page 308
III.84 The Simplex Algorithm......Page 311
III.85 Special Functions......Page 313
III.86 The Spectrum......Page 317
III.87 Spherical Harmonics......Page 318
III.88 Symplectic Manifolds......Page 320
III.90 Topological Spaces......Page 324
III.91 Transforms......Page 326
III.92 Trigonometric Functions......Page 330
III.93 Universal Covers......Page 332
III.94 Variational Methods......Page 333
III.98 Wavelets......Page 336
III.99 The Zermelo–Fraenkel Axioms......Page 337
IV.1 Algebraic Numbers......Page 338
IV.2 Analytic Number Theory......Page 355
IV.3 Computational Number Theory......Page 371
IV.4 Algebraic Geometry......Page 386
IV.5 Arithmetic Geometry......Page 395
IV.6 Algebraic Topology......Page 406
IV.7 Differential Topology......Page 419
IV.8 Moduli Spaces......Page 431
IV.9 Representation Theory......Page 442
IV.10 Geometric and Combinatorial Group Theory......Page 454
IV.11 Harmonic Analysis......Page 471
IV.12 Partial Differential Equations......Page 478
IV.13 General Relativity and the Einstein Equations......Page 506
IV.14 Dynamics......Page 516
IV.15 Operator Algebras......Page 533
IV.16 Mirror Symmetry......Page 546
IV.17 Vertex Operator Algebras......Page 562
IV.18 Enumerative and Algebraic Combinatorics......Page 573
IV.19 Extremal and Probabilistic Combinatorics......Page 585
IV.20 Computational Complexity......Page 598
IV.21 Numerical Analysis......Page 627
IV.22 Set Theory......Page 638
IV.23 Logic and Model Theory......Page 658
IV.24 Stochastic Processes......Page 670
IV.25 Probabilistic Models of Critical Phenomena......Page 680
IV.26 High-Dimensional Geometry and Its Probabilistic Analogues......Page 693
V.2 The Atiyah–Singer Index Theorem......Page 704
V.3 The Banach–Tarski Paradox......Page 707
V.4 The Birch–Swinnerton-Dyer Conjecture......Page 708
V.5 Carleson’s Theorem......Page 709
V.7 The Classification of Finite Simple Groups......Page 710
V.9 Ergodic Theorems......Page 712
V.10 Fermat’s Last Theorem......Page 714
V.11 Fixed Point Theorems......Page 716
V.12 The Four-Color Theorem......Page 719
V.13 The Fundamental Theorem of Algebra......Page 721
V.14 The Fundamental Theorem of Arithmetic......Page 722
V.15 Gödel’s Theorem......Page 723
V.16 Gromov’s Polynomial-Growth Theorem......Page 725
V.19 Inequalities......Page 726
V.20 The Insolubility of the Halting Problem......Page 729
V.21 The Insolubility of the Quintic......Page 731
V.22 Liouville’s Theorem and Roth’s Theorem......Page 733
V.23 Mostow’s Strong Rigidity Theorem......Page 734
V.24 The P versus NP Problem......Page 736
V.26 The Prime Number Theorem and the Riemann Hypothesis......Page 737
V.27 Problems and Results in Additive Number Theory......Page 738
V.28 From Quadratic Reciprocity to Class Field Theory......Page 741
V.29 Rational Points on Curves and the Mordell Conjecture......Page 743
V.30 The Resolution of Singularities......Page 745
V.31 The Riemann–Roch Theorem......Page 746
V.32 The Robertson–Seymour Theorem......Page 748
V.33 The Three-Body Problem......Page 749
V.34 The Uniformization Theorem......Page 751
V.35 The Weil Conjectures......Page 752
VI.1 Pythagoras (ca. 569 b.c.e.–ca. 494 b.c.e.)......Page 756
VI.3 Archimedes (ca. 287 b.c.e.–212 b.c.e.)......Page 757
VI.4 Apollonius (ca. 262 b.c.e.–ca. 190 b.c.e.)......Page 758
VI.5 Abu Ja’far Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (800–847)......Page 759
VI.9 François Viète (1540–1603)......Page 760
VI.10 Simon Stevin (1548–1620)......Page 761
VI.11 René Descartes (1596–1650)......Page 762
VI.12 Pierre Fermat (160?–1665)......Page 763
VI.13 Blaise Pascal (1623–1662)......Page 764
VI.14 Isaac Newton (1642–1727)......Page 765
VI.15 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)......Page 766
VI.18 The Bernoullis (.. 18th century)......Page 768
VI.19 Leonhard Euler (1707–1783)......Page 770
VI.20 Jean Le Rond d’Alembert (1717–1783)......Page 772
VI.21 Edward Waring (ca. 1735–1798)......Page 773
VI.22 Joseph Louis Lagrange (1736–1813)......Page 774
VI.23 Pierre-Simon Laplace (1749–1827)......Page 775
VI.24 Adrien-Marie Legendre (1752–1833)......Page 777
VI.26 Carl Friedrich Gauss (1777–1855)......Page 778
VI.28 Bernard Bolzano (1781–1848)......Page 780
VI.29 Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)......Page 781
VI.31 Nicolai Ivanovich Lobachevskii (1792–1856)......Page 782
VI.33 Niels Henrik Abel (1802–1829)......Page 783
VI.35 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851)......Page 785
VI.36 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)......Page 787
VI.38 Augustus De Morgan (1806–1871)......Page 788
VI.39 Joseph Liouville (1809–1882)......Page 789
VI.41 Évariste Galois (1811–1832)......Page 790
VI.42 James Joseph Sylvester (1814–1897)......Page 791
VI.43 George Boole (1815–1864)......Page 792
VI.44 Karl Weierstrass (1815–1897)......Page 793
VI.45 Pafnuty Chebyshev (1821–1894)......Page 794
VI.46 Arthur Cayley (1821–1895)......Page 795
VI.48 Leopold Kronecker (1823–1891)......Page 796
VI.49 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866)......Page 797
VI.51 Émile Léonard Mathieu (1835–1890)......Page 799
VI.53 Sophus Lie (1842–1899)......Page 800
VI.54 Georg Cantor (1845–1918)......Page 801
VI.56 Gottlob Frege (1848–1925)......Page 803
VI.57 Christian Felix Klein (1849–1925)......Page 805
VI.58 Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917)......Page 806
VI.59 Sofya (Sonya) Kovalevskaya (1850–1891)......Page 807
VI.61 Jules Henri Poincaré (1854–1912)......Page 808
VI.62 Giuseppe Peano (1858–1932)......Page 810
VI.63 David Hilbert (1862–1943)......Page 811
VI.64 Hermann Minkowski (1864–1909)......Page 812
VI.65 Jacques Hadamard (1865–1963)......Page 813
VI.66 Ivar Fredholm (1866–1927)......Page 814
VI.68 Felix Hausdor. (1868–1942)......Page 815
VI.69 Élie Joseph Cartan (1869–1951)......Page 817
VI.71 Bertrand Arthur William Russell (1872–1970)......Page 818
VI.72 Henri Lebesgue (1875–1941)......Page 819
VI.73 Godfrey Harold Hardy (1877–1947)......Page 820
VI.74 Frigyes (Frédéric) Riesz (1880–1956)......Page 821
VI.75 Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881–1966)......Page 822
VI.76 Emmy Noether (1882–1935)......Page 823
VI.77 Wacław Sierpínski (1882–1969)......Page 824
VI.78 George Birkhoff (1884–1944)......Page 825
VI.79 John Edensor Littlewood (1885–1977)......Page 826
VI.80 Hermann Weyl (1885–1955)......Page 828
VI.81 Thoralf Skolem (1887–1963)......Page 829
VI.82 Srinivasa Ramanujan (1887–1920)......Page 830
VI.83 Richard Courant (1888–1972)......Page 831
VI.84 Stefan Banach (1892–1945)......Page 832
VI.85 Norbert Wiener (1894–1964)......Page 834
VI.86 Emil Artin (1898–1962)......Page 835
VI.87 Alfred Tarski (1901–1983)......Page 836
VI.88 Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987)......Page 837
VI.90 William Vallance Douglas Hodge (1903–1975)......Page 839
VI.91 John von Neumann (1903–1957)......Page 840
VI.93 André Weil (1906–1998)......Page 842
VI.94 Alan Turing (1912–1954)......Page 844
VI.95 Abraham Robinson (1918–1974)......Page 845
VI.96 Nicolas Bourbaki (1935–)......Page 846
VII.1 Mathematics and Chemistry......Page 850
VII.2 Mathematical Biology......Page 860
VII.3 Wavelets and Applications......Page 871
VII.4 The Mathematics of Traffic in Networks......Page 885
VII.5 The Mathematics of Algorithm Design......Page 894
VII.6 Reliable Transmission of Information......Page 901
VII.7 Mathematics and Cryptography......Page 910
VII.8 Mathematics and Economic Reasoning......Page 918
VII.9 The Mathematics of Money......Page 933
VII.10 Mathematical Statistics......Page 939
VII.11 Mathematics and Medical Statistics......Page 944
VII.12 Analysis, Mathematical and Philosophical......Page 951
VII.13 Mathematics and Music......Page 958
VII.14 Mathematics and Art......Page 967
VIII.1 The Art of Problem Solving......Page 978
VIII.2 “Why Mathematics?” You Might Ask......Page 989
VIII.3 The Ubiquity of Mathematics......Page 1000
VIII.4 Numeracy......Page 1006
VIII.5 Mathematics: An Experimental Science......Page 1014
VIII.6 Advice to a Young Mathematician......Page 1023
VIII.7 A Chronology of Mathematical Events......Page 1033
Index......Page 1038