The Non-Euclidean, Hyperbolic Plane: Its Structure and Consistency

کشف هندسه هذلولی، و اثبات متعاقب آن مبنی بر اینکه این هندسه به اندازه هندسه اقلیدس منطقی است، تأثیر عمیقی بر درک انسان از ریاضیات و رابطه هندسه ریاضی با جهان فیزیکی داشت. در حال حاضر، تا حد زیادی به دلیل بدیهیات ابداع شده توسط جورج بیرخوف، امکان ارائه یک توسعه دقیق و ابتدایی از هندسه صفحه هایپربولیک وجود دارد. همچنین با استفاده از مدل پوانکر و هندسه معکوس، همسانی هندسه صفحه هذلولی و هندسه صفحه اقلیدسی بدون استفاده از ریاضیات پیشرفته قابل اثبات است. این دو واقعیت هم انگیزه و هم دو موضوع محوری کار حاضر را فراهم کردند. هندسه صفحه هذلولی پایه، و اثبات برابری آن با هندسه صفحه اقلیدسی، در اینجا با شرایطی ارائه شده است که برای هر کسی که پیشینه خوبی در ریاضیات دبیرستان دارد، قابل دسترسی است. با این حال، توسعه به ویژه برای دانش آموزان کالج است که ممکن است معلمان متوسطه شوند. به همین دلیل، این درمان برای تاکید بر جنبه‌هایی از هندسه صفحه هذلولی که به مهارت‌ها، دانش و بینش‌های مورد نیاز برای آموزش هندسه دین اقلیم با کمی تسلط کمک می‌کند، طراحی شده است.

The discovery of hyperbolic geometry, and the subsequent proof that this geometry is just as logical as Euclid's, had a profound in­ fluence on man's understanding of mathematics and the relation of mathematical geometry to the physical world. It is now possible, due in large part to axioms devised by George Birkhoff, to give an accurate, elementary development of hyperbolic plane geometry. Also, using the Poincare model and inversive geometry, the equiconsistency of hyperbolic plane geometry and euclidean plane geometry can be proved without the use of any advanced mathematics. These two facts provided both the motivation and the two central themes of the present work. Basic hyperbolic plane geometry, and the proof of its equal footing with euclidean plane geometry, is presented here in terms acces­ sible to anyone with a good background in high school mathematics. The development, however, is especially directed to college students who may become secondary teachers. For that reason, the treatment is de­ signed to emphasize those aspects of hyperbolic plane geometry which contribute to the skills, knowledge, and insights needed to teach eucli­ dean geometry with some mastery.