The Monge-Ampère equation

اکنون در ویرایش دوم خود، این تک نگاری معادله Monge-Ampère و آخرین پیشرفت ها در مطالعه و کاربردهای آن را بررسی می کند. این یک توضیح سیستماتیک اساساً مستقل از نظریه راه حل های ضعیف، از جمله نتایج منظم توسط L. A. Caffarelli ارائه می دهد. جنبه‌های هندسی این نظریه با استفاده از تکنیک‌های تحلیل هارمونیک، مانند پوشش لم‌ها و تجزیه مجموعه‌ها، تاکید می‌شوند. تلاش برای ارائه اثبات کامل تمام قضایا، و مثال ها و تمرین ها برای نشان دادن بیشتر مفاهیم مهم ارائه شده است. برخی از موضوعات در نظر گرفته شده عبارتند از راه حل های تعمیم یافته، معادلات غیر واگرایی، مقاطع مقطعی و راه حل های محدب. جدید در این نسخه، فصلی در معادله خطی شده مونگ-آمپر و فصلی در تخمین داخلی هولدر برای مشتقات دوم است. یادداشت‌های کتاب‌شناختی، به‌روزرسانی‌شده و گسترش‌یافته از چاپ اول، در پایان هر فصل برای مطالعه بیشتر در مورد معادلات نوع Monge-Ampère و کاربردهای متنوع آنها در زمینه‌های هندسه دیفرانسیل، محاسبه تغییرات، مسائل بهینه‌سازی، جرم بهینه گنجانده شده است. حمل و نقل و اپتیک هندسی. هم محققان و هم دانشجویان فارغ التحصیل که بر روی معادلات دیفرانسیل غیرخطی و کاربردهای آنها کار می کنند، این را منبع مفید و مختصر می دانند.

Now in its second edition, this monograph explores the Monge-Ampère equation and the latest advances in its study and applications.  It provides an essentially self-contained systematic exposition of the theory of weak solutions, including regularity results by L. A. Caffarelli.  The geometric aspects of this theory are stressed using techniques from harmonic analysis, such as covering lemmas and set decompositions.  An effort is made to present complete proofs of all theorems, and examples and exercises are offered to further illustrate important concepts.  Some of the topics considered include generalized solutions, non-divergence equations, cross sections, and convex solutions.  New to this edition is a chapter on the linearized Monge-Ampère equation and a chapter on interior Hölder estimates for second derivatives.  Bibliographic notes, updated and expanded from the first edition, are included at the end of every chapter for further reading on Monge-Ampère-type equations and their diverse applications in the areas of differential geometry, the calculus of variations, optimization problems, optimal mass transport, and geometric optics.  Both researchers and graduate students working on nonlinear differential equations and their applications will find this to be a useful and concise resource.