The Location of Critical Points of Analytic and Harmonic Functions

Cover\0......Page 1
Title: The Location of Critical Points of Analytic and Harmonic Functions\0......Page 2
AMERICAN MA THEl\\IA TICAL SOCIETY\0......Page 3
PREFACE\0......Page 4
TABLE OF CONTENTS\0......Page 6
§1.1. Point set terminology.\0......Page 10
§1.2. Function-theoretic preliminaries\0......Page 11
§2. Gauss\'s Theorem\0......Page 14
§3.1. Statement and proof\0......Page 15
§3.2. Complements\0......Page 17
§4. Jensen\'s Theorem\0......Page 18
§4.1. Proof\0......Page 19
§4.2. Complements\0......Page 20
§6.1. Prelimjnaries\0......Page 22
§6.2. Proof\0......Page 24
§6.1. Level curves\0......Page 26
§6.2. Lemniscates and their orthogonal trajectories\0......Page 27
§6.3. Behavior at infinity.\0......Page 30
§1. Polynomials with real zeros\0......Page 33
§2. Jensen\'s Theorem, continued\0......Page 36
§2.1. Special cases\0......Page 37
§2.2. A region for non-real critical points\0......Page 38
§3. Number of critical points\0......Page 40
§4.1. Sufficient conditions for non-real critical points\0......Page 41
§4.2. Sufficient conditions for real critical points.\0......Page 42
§4.3. Real critical points, continued\0......Page 44
§6. Jensen coufiguration improved\0......Page 47
§6. W-curves\0......Page 49
§6.1. General results\0......Page 50
§6.2. Real polynomials\0......Page 53
§6.3. Zeros on horizontal segments\0......Page 58
§7.1. Jensen circles\0......Page 61
§7.2. Infinite sectors\0......Page 64
§1.1. Exterior of a circle\0......Page 67
§1.2. Half-planes\0......Page 69
§2. A characteristic property of circular regions\0......Page 71
§3. Critical points of real polynomials as centers of circles\0......Page 72
§4. Lucas polygon improved\0......Page 77
§5.1. Relations of convex sets\0......Page 80
§5.2. Dependence of zeros of polynomial on those of its derivative\0......Page 82
§6.1. Ordinary symmetry\0......Page 84
§6.2. Multiple symmetry in 0.\0......Page 87
§7. Circular regions and symmetry\0......Page 89
§8. Higher derivatives\0......Page 92
§9. Further results\0......Page 96
§1.1. Fundamental theorem\0......Page 98
§1.2. Transformations of the plane\0......Page 101
§1.3. Stereographic projection\0......Page 103
§2. Bocher\'s Theorem\0......Page 106
§2.1. Proof\0......Page 107
§2.2. Locus of critical points\0......Page 108
§2.3. Specializations\0......Page 110
§2.4. Circular regions as loci\0......Page 112
§2.5. Converse\0......Page 114
§3. Concentric circular regions as loci\0......Page 115
§4.1. Geometric locus\0......Page 118
§4.2. Discussion of locus\0......Page 122
§4.3. Locus of critical points\0......Page 124
§4.4. Generalizations\0......Page 129
§6. Marden\'s Theorem\0......Page 130
§1.1. Real zeros and poles\0......Page 132
§1.2. Non-real zeros\0......Page 134
§1.3. Regions as loci\0......Page 137
§1.4. Regions as loci, continued\0......Page 140
§1.6. W-curves\0......Page 144
§2. Zeros and poles concyclic\0......Page 147
§2.1. Zeros and poles interlaced\0......Page 148
§2.2. Extensions\0......Page 150
§2.3. Critical points near a given zero.\0......Page 154
§2.4. Continuation\0......Page 157
§2.6. Zeros and poles on prescribed arcs\0......Page 161
§3. Hyperbolic plane\0......Page 165
§3.1. Analog of Lucas\'s Theorem\0......Page 166
§3.2. Extensions\0......Page 168
§3.3. Analog of Jensen\'s Theorem\0......Page 172
§3.4. Circular regions as loci\0......Page 174
§3.6. Analog of Bocher\'s Theorem\0......Page 178
§3.6. Continuation\0......Page 179
§3.7. NE half-planes as loci\0......Page 181
§4.1. Analog of Bacher\'s Theorem\0......Page 185
§4.2. Circular regions as loci\0......Page 187
§5.1. Regions bounded by concentric circles\0......Page 190
§5.2. Regions bounded by equilateral }J.yperbolas\0......Page 192
§5.3. Circular regions as loci of zeros and poles.\0......Page 195
§5.4. Multiple symmetry in 0\0......Page 198
§5.5. Multiple symmetry in 0, continued\0......Page 200
§5.6. Polynomials and multiple symmetry in 0\0......Page 202
§6.1. Sectors containing zeros and poles\0......Page 203
§6.2. W -curves\0......Page 206
§7.1. Polynomials in z and 1/z\0......Page 211
§7.2. General rational functions\0......Page 215
§8.1. Combinations of symmetries\0......Page 217
§8.2. Circular regions and symmetry in a line\0......Page 218
§8.3. Circular regions and real polynomials\0......Page 221
§1. Entire and meromorphic functions\0......Page 226
§2.1. Analytic and meromorphic functions\0......Page 230
§2.2. Blaschke products\0......Page 232
§3.1. Uniform functions\0......Page 233
§3.2. Non-uniform functions\0......Page 236
§4. Simply periodic functions\0......Page 240
§4.1. General theorems\0......Page 241
§4.2. Functions with symmetry.\0......Page 243
§5. Doubly periodic functions\0......Page 244
§6. General analytic functions.\0......Page 245
§7. Analytic functions and harmonic functions\0......Page 249
§1.1. Level curves\0......Page 250
§1.2. Variable regions\0......Page 252
§1.3. A formula for Green\'s function\0......Page 254
§1.4. Level curves and lemniscates\0......Page 256
§2.1. Analog of Lucas\'s Theorem\0......Page 258
§2.2. Center of curvature\0......Page 261
§3.1. Analog of Jensen\'s Theorem\0......Page 264
§3.2. Number of critical points\0......Page 266
§4.1. Numbers of critical points\0......Page 268
§4.2. Numbers of critical points, alternate treatment.\0......Page 271
§4.3. Symmetry\0......Page 272
§4.4. Inequalities on masses\0......Page 273
§5. Doubly-connected regions\0......Page 275
§1.1. Level loci\0......Page 278
§1.2. A formula for harmonic measure\0......Page 280
§1.3. Number of critical points\0......Page 283
§2. Analog of Bocher\'s Theorem\0......Page 284
§3. A cross-ratio theorem\0......Page 287
§4. Hyperbolic plane\0......Page 288
§5. Other symmetries\0......Page 292
§6. Periodic functions.\0......Page 295
§7.1. Finite number of arcs.\0......Page 297
§7.2. Infinite number of arcs\0......Page 299
§8.1. Doubly-connected, region.\0......Page 301
§8.2. Case p > 2\0......Page 302
§9. Linear combinations of Green\'s functions\0......Page 303
§9.1. Simply-connected region\0......Page 304
§9.2. Regions of arbitrary connectivity\0......Page 305
§9.3. Multiply-connected regions\0......Page 308
§10.1. Doubly-connected regions\0......Page 309
§10.2. Arbitrary connectivity\0......Page 310
§10.3. Approximating circular regions\0......Page 311
§1. A general field of force.\0......Page 313
§2.1. A single arc\0......Page 316
§2.2. Several arcs\0......Page 317
§2.3. Linear combinations\0......Page 319
§3. Arcs of a circle.\0......Page 321
§3.1. Disjoint arcs\0......Page 322
§3.2. Abutting arcs\0......Page 324
§3.3. Poisson\'s Integral\0......Page 326
§3.4. Poisson\'s integral as potential of a double distribution\0......Page 328
§3.5. Harmonic functions and rational functions\0......Page 331
§4.1. Harmonic measure\0......Page 333
§4.2. Linear combinations\0......Page 336
§4.3. Harmonic measure, resumed\0......Page 338
§4.4. Symmetry\0......Page 339
§4.5. Symmetry, several arcs\0......Page 342
§4.6. Case p > 1.\0......Page 346
§5.1. A numerical example\0......Page 348
§5.2. General linear combinations\0......Page 350
§6.1. Hyperbolic geometry\0......Page 353
§6.2. Comparison of hyperbolic geometries.\0......Page 355
§7. Methods of symmetry\0......Page 357
§7.1. Reflection in axis\0......Page 358
§7.2. Reflection in point\0......Page 362
§7.3. Reflection of an annulus, Green\'s function\0......Page 365
§7.4. Reflection of an annulus, harmonic measure\0......Page 367
§8.1. Simple-connectivity\0......Page 369
§8.2. Higher connectivity\0......Page 371
§8.3. Contours with boundary values zero\0......Page 373
§9.1. Simple layers\0......Page 374
§9.2. Superharmonic functions\0......Page 375
§9.3. Double layers\0......Page 379
BIBLIOGRAPHY\0......Page 386
INDEX\0......Page 390
Colloquium Publications\0......Page 394