The hypoelliptic Laplacian and Ray-Singer metrics

این کتاب مبانی تحلیلی نظریه لاپلاسین هیپواللیپسی را ارائه می کند. لاپلاسین هیپوالپتیک، یک اپراتور مرتبه دوم که بر روی بسته‌های هم‌تانژانت یک منیفولد فشرده عمل می‌کند، قرار است بین لاپلاسین کلاسیک و جریان ژئودزیک درون‌یابی کند. ژان میشل بیسموت و ژیل لوبو ویژگی‌های تحلیلی عملکردی پایه این عملگر را ایجاد می‌کنند که از منظر نظریه شاخص محلی و پیچش تحلیلی نیز مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

این کتاب نشان می‌دهد که لاپلاسین هیپواللیپسی یک نسخه هندسی ارائه می‌دهد. معادلات فوکر-پلانک نویسندگان به منظور مطالعه این عملگر و ایجاد یک حساب شبه دیفرانسیل، تنظیمات تحلیلی عملکردی مناسبی را ارائه می‌دهند که تخمین‌هایی را بر روی حلال لاپلاسین هیپواللیپسی ارائه می‌دهد. هنگامی که پارامتر تغییر شکل به صفر می‌رسد، لاپلاسین هیپواللیپسی با یک آرگومان فروپاشی که در آن الیاف دسته کوتانژانت تا یک نقطه فرو می‌ریزند، به لاپلاسین استاندارد هوج پایه همگرا می‌شود. برای تئوری شاخص محلی، مجانبی زمان کوچک برای ابر ردیابی هسته گرمایی مرتبط به دست می‌آید.

پیچش تحلیلی ری-سینگر لاپلاسین هیپواللیپسی و همچنین معیارهای ری-سینگر مرتبط در تعیین کننده هم‌شناسی در یک محیط معادل مورد مطالعه قرار می‌گیرد، که منجر به یک فرمول مقایسه کلیدی بین پیچش‌های تحلیلی بیضوی و هیپو بیضوی می‌شود.

This book presents the analytic foundations to the theory of the hypoelliptic Laplacian. The hypoelliptic Laplacian, a second-order operator acting on the cotangent bundle of a compact manifold, is supposed to interpolate between the classical Laplacian and the geodesic flow. Jean-Michel Bismut and Gilles Lebeau establish the basic functional analytic properties of this operator, which is also studied from the perspective of local index theory and analytic torsion.

The book shows that the hypoelliptic Laplacian provides a geometric version of the Fokker-Planck equations. The authors give the proper functional analytic setting in order to study this operator and develop a pseudodifferential calculus, which provides estimates on the hypoelliptic Laplacian's resolvent. When the deformation parameter tends to zero, the hypoelliptic Laplacian converges to the standard Hodge Laplacian of the base by a collapsing argument in which the fibers of the cotangent bundle collapse to a point. For the local index theory, small time asymptotics for the supertrace of the associated heat kernel are obtained.

The Ray-Singer analytic torsion of the hypoelliptic Laplacian as well as the associated Ray-Singer metrics on the determinant of the cohomology are studied in an equivariant setting, resulting in a key comparison formula between the elliptic and hypoelliptic analytic torsions.