The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions

هدف این کتاب توسعه یک رویکرد جدید است که ما آن را رویکرد فوق هندسی به نظریه تبدیل‌های انتگرال مختلف، کانولوشن‌ها و کاربردهای آنها برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل، حساب عملیاتی و ارزیابی انتگرال‌ها می‌نامیم. امیدواریم این رویکرد ساده که در ادامه توضیح داده خواهد شد، به دانشجویان، فارغ التحصیلان ریاضیات، فیزیکدانان و تکنسین ها و ریاضیدانان و پژوهشگران جدی این امکان را می دهد که در این کتاب نتایج جالب جدیدی در نظریه تبدیل های انتگرال، توابع ویژه و کانولوشن ها بیابند. . ایده این رویکرد را می توان در مقالات مختلف بسیاری از نویسندگان یافت، اما بحث و توسعه سیستماتیک برای اولین بار در این کتاب تحقق می یابد. اجازه دهید به طور خلاصه نکات اساسی این رویکرد را توضیح دهیم. همانطور که مشخص است در نظریه توابع خاص و کاربردهای آن، توابع فراهندسی نقش اصلی را ایفا می کنند. علاوه بر توابع ابتدایی شناخته شده، این کلاس شامل توابع گاوس، بسل، کومر، و غیره است. در حالت کلی، توابع فراهندسی به صورت ترکیب خطی انتگرال های ملین بارنز تعریف می شوند. این سؤالات به طور گسترده در فصل 1 مورد بحث قرار می گیرند. علاوه بر این، انتگرال های نوع ملین-بارنز را می توان به عنوان تبدیل ملین وارونه از ضریب محصولات توابع گامای اویلر درک کرد. بنابراین ما به ساختارهای کلی مانند تابع G Meijer و تابع H فاکس هدایت می‌شویم.

The aim of this book is to develop a new approach which we called the hyper­ geometric one to the theory of various integral transforms, convolutions, and their applications to solutions of integro-differential equations, operational calculus, and evaluation of integrals. We hope that this simple approach, which will be explained below, allows students, post graduates in mathematics, physicists and technicians, and serious mathematicians and researchers to find in this book new interesting results in the theory of integral transforms, special functions, and convolutions. The idea of this approach can be found in various papers of many authors, but systematic discussion and development is realized in this book for the first time. Let us explain briefly the basic points of this approach. As it is known, in the theory of special functions and its applications, the hypergeometric functions play the main role. Besides known elementary functions, this class includes the Gauss's, Bessel's, Kummer's, functions et c. In general case, the hypergeometric functions are defined as a linear combinations of the Mellin-Barnes integrals. These ques­ tions are extensively discussed in Chapter 1. Moreover, the Mellin-Barnes type integrals can be understood as an inversion Mellin transform from the quotient of products of Euler's gamma-functions. Thus we are led to the general construc­ tions like the Meijer's G-function and the Fox's H-function.