The Hopf Bifurcation and Its Applications

هدف این یادداشت ها ارائه یک بحث منطقی کامل، هرچند نه جامع، درباره آنچه معمولاً به عنوان انشعاب Hopf نامیده می شود با کاربردهایی برای مشکلات خاص، از جمله محاسبات پایداری است. از نظر تاریخی، این موضوع ریشه در آثار پوانکاره [1] در حدود سال 1892 داشت و از حدود سال 1930 به طور گسترده توسط اندرونوف و ویت [1] و همکارانشان مورد بحث قرار گرفت. مقاله اصلی هاپف [1] در سال 1942 ظاهر شد. اصطلاح \"انشعاب Poincare Andronov-Hopf\" دقیق‌تر است (گاهی اوقات فریدریکس نیز گنجانده می‌شود)، نام \"Hopf Bifurcation\" رایج‌تر به نظر می‌رسد، بنابراین ما از آن استفاده کرده‌ایم. سهم مهم Hopf گسترش از دو بعد به ابعاد بالاتر بود. تکنیک اصلی به کار رفته در متن متن، منیفولدهای ثابت است. روش Ruelle Takens [1] همراه با جزئیات، مثال ها و براهین اضافه شده است. بخش‌های متعددی از شرح در متن اصلی از مقالات پی. روش کلی منیفولدهای ثابت در سیستم های دینامیکی و در معادلات دیفرانسیل معمولی رایج است: به عنوان مثال، هیل [1،2] و هارتمن [1] را ببینید. البته روش های دیگری نیز موجود است. در تلاش برای حفظ تعادل تصویر، نمونه‌هایی از رویکردهای جایگزین را قرار داده‌ایم. به طور خاص، ما یک ترجمه (توسط L. Howard و N. Kopell) از مقاله اصلی Hopf (و به طور کلی در دسترس نیست) قرار داده ایم.

The goal of these notes is to give a reasonahly com­ plete, although not exhaustive, discussion of what is commonly referred to as the Hopf bifurcation with applications to spe­ cific problems, including stability calculations. Historical­ ly, the subject had its origins in the works of Poincare [1] around 1892 and was extensively discussed by Andronov and Witt [1] and their co-workers starting around 1930. Hopf's basic paper [1] appeared in 1942. Although the term "Poincare­ Andronov-Hopf bifurcation" is more accurate (sometimes Friedrichs is also included), the name "Hopf Bifurcation" seems more common, so we have used it. Hopf's crucial contribution was the extension from two dimensions to higher dimensions. The principal technique employed in the body of the text is that of invariant manifolds. The method of Ruelle­ Takens [1] is followed, with details, examples and proofs added. Several parts of the exposition in the main text come from papers of P. Chernoff, J. Dorroh, O. Lanford and F. Weissler to whom we are grateful. The general method of invariant manifolds is common in dynamical systems and in ordinary differential equations: see for example, Hale [1,2] and Hartman [1]. Of course, other methods are also available. In an attempt to keep the picture balanced, we have included samples of alternative approaches. Specifically, we have included a translation (by L. Howard and N. Kopell) of Hopf's original (and generally unavailable) paper.