The Heat Kernel and Theta Inversion on SL2(C)

مونگ‌نگار حاضر ایده‌ها و نتایج بنیادی پیرامون هسته‌های حرارتی، نظریه طیفی و ردپای منظم مرتبط با گروه مدولار کاملی را که بر روی SL₂(C) عمل می‌کنند، توسعه می‌دهد. نویسندگان با تحقق هسته گرما در SL₂(C) از طریق تبدیل کروی شروع می کنند، که از آن یک تجلی هسته گرما در فضاهای ضریب از طریق دوره بندی گروهی به دست می آید. از دیدگاهی متفاوت، شخص هسته گرما را در فضای گروه با استفاده از یک تابع ویژه یا بسط طیفی می سازد که سپس با معادل سازی دو تحقق هسته حرارتی در فضای ضریب به یک تابع تتا و یک فرمول وارونگی تتا منجر می شود. . ردی از هسته گرما واگرا می شود، که به طور طبیعی با مطالعه سری آیزنشتاین در سمت تابع ویژه و عناصر کاسپیدال در سمت دوره بندی گروهی منجر به منظم شدن ردیابی می شود. با تمرکز بر روی مورد SL₂(Z[i]) که بر روی SL₂(C) عمل می کند، نویسندگان می توانند بر اهمیت مثال های خاص از کلیات تأکید کنند. نظریه فرمول عمومی ردیابی سلبرگ را ارائه کرده و مرحله دوم را در \"نردبان\" پیش بینی شده توابع زتا تعریف شده هندسی، که در آن هر مرحله حدس زده شده شامل توابع زتا سطح پایین تر به عنوان عوامل در معادلات تابعی است، کشف کنید.

The present monograph develops the fundamental ideas and results surrounding heat kernels, spectral theory, and regularized traces associated to the full modular group acting on SL₂(C). The authors begin with the realization of the heat kernel on SL₂(C) through spherical transform, from which one manifestation of the heat kernel on quotient spaces is obtained through group periodization. From a different point of view, one constructs the heat kernel on the group space using an eigenfunction, or spectral, expansion, which then leads to a theta function and a theta inversion formula by equating the two realizations of the heat kernel on the quotient space. The trace of the heat kernel diverges, which naturally leads to a regularization of the trace by studying Eisenstein series on the eigenfunction side and the cuspidal elements on the group periodization side. By focusing on the case of SL₂(Z[i]) acting on SL₂(C), the authors are able to emphasize the importance of specific examples of the general theory of the general Selberg trace formula and uncover the second step in their envisioned "ladder" of geometrically defined zeta functions, where each conjectured step would include lower level zeta functions as factors in functional equations.