The Geometry of Complex Domains

هندسه حوزه‌های پیچیده موضوعی است که ریشه‌های آن به بیش از یک قرن قبل بازمی‌گردد، به قضیه یکنواخت‌سازی پوانکاره و کوبه و اثبات حاصل از وجود معیارهای متعارف برای سطوح هیپربولیک ریمان. در دوران مدرن، پیشرفت‌ها در چندین متغیر پیچیده توسط برگمن، هورماندر، آندرئوتی-وسنتینی، کوهن، ففرمن و دیگران، فرصت‌های جدیدی را برای یکپارچه‌سازی نظریه تابع مختلط و هندسه مختلط گشوده است. به طور خاص، هندسه را می توان برای مطالعه نگاشت های بیهولومورفیک به روش های قابل توجهی مورد استفاده قرار داد. این کتاب تصویر کاملی از این تحولات ارائه می‌دهد.

با شروع مورد تک متغیری - اطلاعات پس‌زمینه‌ای که در جای دیگری در یک مکان یافت نمی‌شوند - کتاب تصویر کاملی از تقارن دامنه‌ها از نقطه نظر ارائه می‌کند. نمای نگاشت های هولومورفیک تمام تکنیک‌های مربوطه، از هندسه دیفرانسیل گرفته تا گروه‌های دروغ، معادلات دیفرانسیل جزئی تا تحلیل هارمونیک را توصیف می‌کند. مفاهیم خاصی که به آنها پرداخته می‌شود عبارتند از:

• پوشش فضاها و یکنواخت‌سازی؛
• هندسه برگمن؛
• گروه‌های خودمورفیسم؛
• متریک‌های ثابت.
• روش مقیاس‌بندی.

همه نتایج مدرن با اثبات‌های دقیق همراه هستند، و مثال‌ها و شکل‌های گویا بسیاری در سرتاسر ظاهر می‌شوند.

نوشته شده توسط سه نفر متخصصان برجسته در این زمینه، هندسه دامنه های پیچیده اولین کتابی است که به بررسی سیستماتیک تحولات اخیر در موضوع هندسه حوزه های پیچیده و گروه های خودمورفیسم دامنه ها می پردازد. اثری منحصر به فرد و قطعی در این زمینه، منبعی ارزشمند برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و مرجع مفیدی برای محققان این حوزه خواهد بود.

The geometry of complex domains is a subject with roots extending back more than a century, to the uniformization theorem of Poincaré and Koebe and the resulting proof of existence of canonical metrics for hyperbolic Riemann surfaces. In modern times, developments in several complex variables by Bergman, Hörmander, Andreotti-Vesentini, Kohn, Fefferman, and others have opened up new possibilities for the unification of complex function theory and complex geometry. In particular, geometry can be used to study biholomorphic mappings in remarkable ways. This book presents a complete picture of these developments.

Beginning with the one-variable case—background information which cannot be found elsewhere in one place—the book presents a complete picture of the symmetries of domains from the point of view of holomorphic mappings. It describes all the relevant techniques, from differential geometry to Lie groups to partial differential equations to harmonic analysis. Specific concepts addressed include:

• covering spaces and uniformization;
• Bergman geometry;
• automorphism groups;
• invariant metrics;
• the scaling method.

All modern results are accompanied by detailed proofs, and many illustrative examples and figures appear throughout.

Written by three leading experts in the field, The Geometry of Complex Domains is the first book to provide systematic treatment of recent developments in the subject of the geometry of complex domains and automorphism groups of domains. A unique and definitive work in this subject area, it will be a valuable resource for graduate students and a useful reference for researchers in the field.