The Geometry and Topology of Coxeter Groups

هندسه و توپولوژی گروه‌های کوکستر یک بررسی جامع و معتبر از گروه‌های کاکستر از دیدگاه تئوری گروه‌های هندسی است. گروه های تولید شده توسط بازتاب ها در ریاضیات همه جا وجود دارند و نمونه های کلاسیکی از گروه های بازتابی در هندسه کروی، اقلیدسی و هذلولی وجود دارد. هر گروه Coxeter را می توان به عنوان گروهی که با تأمل در یک مجموعه سلولی قابل انقباض ایجاد می شود، درک کرد و این مجموعه موضوع اصلی این کتاب است. این کتاب یک قضیه موسونگ را توضیح می‌دهد که نشان می‌دهد یک متریک چند وجهی در این مجموعه سلولی منحنی غیرمثبتی دارد، به این معنی که گروه‌های کوکستر «گروه‌های CAT(0) هستند.» این کتاب ترفند گروه بازتاب را، یکی از قوی‌ترین منابع، توصیف می‌کند. نمونه هایی از منیفولدهای کروی و کتاب بسیاری از موضوعات مهم در نظریه و توپولوژی گروه هندسی، از جمله نظریه پایان هاپف را مورد بحث قرار می دهد. منیفولدهای انقباضی و کره های همسانی؛ حدس پوانکاره؛ و نظریه گروموف در مورد فضاها و گروه های CAT(0). در نهایت، این کتاب به بررسی ارتباط بین گروه‌های Coxeter و برخی از معروف‌ترین مسائل باز توپولوژی در مورد منیفولدهای غیرکروی، مانند حدس مشخصه اویلر و حدس‌های بورل و سینگر می‌پردازد.

The Geometry and Topology of Coxeter Groups is a comprehensive and authoritative treatment of Coxeter groups from the viewpoint of geometric group theory. Groups generated by reflections are ubiquitous in mathematics, and there are classical examples of reflection groups in spherical, Euclidean, and hyperbolic geometry. Any Coxeter group can be realized as a group generated by reflection on a certain contractible cell complex, and this complex is the principal subject of this book. The book explains a theorem of Moussong that demonstrates that a polyhedral metric on this cell complex is nonpositively curved, meaning that Coxeter groups are ''CAT(0) groups.'' The book describes the reflection group trick, one of the most potent sources of examples of aspherical manifolds. And the book discusses many important topics in geometric group theory and topology, including Hopf's theory of ends; contractible manifolds and homology spheres; the Poincaré Conjecture; and Gromov's theory of CAT(0) spaces and groups. Finally, the book examines connections between Coxeter groups and some of topology's most famous open problems concerning aspherical manifolds, such as the Euler Characteristic Conjecture and the Borel and Singer conjectures.