The Geometrical Language of Continuum Mechanics

Half-title......Page 3
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Dedication......Page 7
Contents......Page 9
Preface......Page 13
PART ONE. MOTIVATION AND BACKGROUND......Page 15
1 The Case for Differential Geometry......Page 17
1.2.1. The Configuration Space......Page 18
1.1.2. Galilean Space-Time......Page 19
1.1.3. Observer Transformations......Page 21
1.1.4. Cross Sections......Page 22
1.1.5. Relativistic Space-time......Page 23
1.2.2. Virtual Displacements and Tangent Vectors......Page 24
1.2.3. The Tangent Bundle......Page 25
1.2.4. The Cotangent Bundle......Page 26
1.3. The Infinite-dimensional Case......Page 27
1.3.1. How Many Degrees of Freedom Does a Bar Have?......Page 28
1.3.2. What Is a Configuration of a Deformable Bar?......Page 29
1.3.4. The Configuration Space......Page 31
1.3.5. The Tangent Bundle and Its Physical Meaning......Page 32
1.3.6. The Cotangent Bundle......Page 35
1.4. Elasticity......Page 36
1.5. Material or Configurational Forces......Page 37
2.1. Vector Spaces: Definition and Examples......Page 38
2.2. Linear Independence and Dimension......Page 40
2.3. Change of Basis and the Summation Convention......Page 44
2.4. The Dual Space......Page 45
2.5. Linear Operators and the Tensor Product......Page 48
2.6. Isomorphisms and Iterated Dual......Page 50
2.7.1. Generalities and Definition......Page 55
2.7.3. The Reciprocal Basis......Page 57
2.7.4. Consequences......Page 58
2.8.1. Introduction......Page 60
2.8.2. Definition......Page 61
2.8.3. Affine Simplexes......Page 64
2.8.4. Euclidean or Inner-product Affine Structures......Page 65
2.9.1. Basic Definitions......Page 66
2.9.3. Completion of a Normed Space......Page 69
3.1.1. The Direct Sum of Vector Spaces......Page 71
3.1.3. The Tensor Algebra......Page 72
3.1.4. The Operation of Contraction......Page 73
3.2. The Contravariant and Covariant Subalgebras......Page 74
3.3.1. Introduction......Page 76
3.3.2. The Exterior Product......Page 77
3.4. Multivectors and Oriented Affine Simplexes......Page 83
3.5. The Faces of an Oriented Affine Simplex......Page 85
3.6. Multicovectors or r-Forms\n......Page 86
3.7. The Physical Meaning of......Page 89
3.8. Some Useful Isomorphisms......Page 90
PART TWO. DIFFERENTIAL GEOMETRY......Page 93
4.1. Introduction......Page 95
4.2. Some Topological Notions......Page 97
4.3. Topological Manifolds......Page 99
4.4. Differentiable Manifolds......Page 100
4.5. Differentiability......Page 101
4.6. Tangent Vectors......Page 103
4.7. The Tangent Bundle......Page 108
4.8. The Lie Bracket......Page 110
4.9. The Differential of a Map......Page 115
4.9.1. Push-forwards......Page 118
4.10.1. Linear Maps of Vector Spaces......Page 119
4.10.3. Implications for Differentiable Manifolds......Page 120
4.11. The Cotangent Bundle......Page 123
4.12. Tensor Bundles......Page 124
4.13. Pull-backs......Page 126
4.14. Exterior Differentiation of Differential Forms......Page 128
4.15. Some Properties of the Exterior Derivative......Page 131
4.16. Riemannian Manifolds......Page 132
4.17. Manifolds with Boundary......Page 133
4.18. Differential Spaces and Generalized Bodies......Page 134
4.18.1. Differential Spaces......Page 135
4.18.2. Mechanics of Differential Spaces......Page 137
5.1. Introduction......Page 140
5.2. The Fundamental Theorem of the Theory of ODEs......Page 141
5.3. The Flow of a Vector Field......Page 142
5.4. One-parameter Groups of Transformations Generated by Flows......Page 143
5.5. Time-Dependent Vector Fields......Page 144
5.6. The Lie Derivative......Page 145
5.6.2. The Lie Derivative of a Vector Field......Page 146
5.6.4. The Lie Derivative of Arbitrary Tensor Fields......Page 147
5.6.5. The Lie Derivative in Components......Page 148
5.7. Invariant Tensor Fields......Page 149
5.8. Lie Groups......Page 152
5.9. Group Actions......Page 154
5.10. One-Parameter Subgroups......Page 156
5.11. Leftand Right-Invariant Vector Fields on a Lie Group......Page 157
5.12. The Lie Algebra of a Lie Group......Page 159
5.12.1. The Structure Constants of a Lie Group......Page 162
5.13. Down-to-Earth Considerations......Page 163
5.14. The Adjoint Representation......Page 167
6.1.1. Simplicial Complexes......Page 169
6.1.3. Simplicial Chains and the Boundary Operator......Page 171
6.1.4. Integration of n-Forms in Rn......Page 173
6.2.1. Singular Chains in a Manifold......Page 174
6.2.2. Integration of Forms over Chains in a Manifold......Page 176
6.2.3. Stokes’ Theorem for Chains......Page 177
6.3.1. Partitions of Unity......Page 180
6.3.2. Definition of the Integral......Page 182
6.4. Fluxes in Continuum Physics......Page 183
6.4.1. Extensive-Property Densities......Page 184
6.4.2. Balance Laws, Flux Densities and Sources......Page 185
6.4.3. Flux Forms and Cauchy’s Formula......Page 186
6.4.4. Differential version of the Balance Law......Page 187
6.5. General Bodies and Whitney’s Geometric Integration Theory......Page 188
6.5.1. Polyhedral Chains......Page 189
6.5.2. The Flat Norm......Page 190
6.5.3. Flat Cochains......Page 193
6.5.4. Significance for Continuum Mechanics......Page 194
6.5.6. Continuous Chains......Page 195
6.5.7. Balance Laws and Virtual Work in Terms of Flat Chains......Page 197
6.5.8. The Sharp Norm......Page 198
6.5.9. Fields on Chains as Chains......Page 199
PART THREE. FURTHER TOPICS......Page 203
7.1. Product Bundles......Page 205
7.2. Trivial Bundles......Page 207
7.3. General Fibre Bundles......Page 210
7.3.1. Adapted Coordinate Systems......Page 211
7.4. The Fundamental Existence Theorem......Page 212
7.5. The Tangent and Cotangent Bundles......Page 213
7.6. The Bundle of Linear Frames......Page 215
7.7. Principal Bundles......Page 217
7.8. Associated Bundles......Page 220
7.9. Fibre-Bundle Morphisms......Page 223
7.10. Cross Sections......Page 226
7.11. Iterated Fibre Bundles......Page 228
7.11.1. The Tangent Bundle of a Fibre Bundle......Page 229
7.11.2. The Iterated Tangent Bundle......Page 231
8.1.1. Material Response......Page 234
8.1.2. Germ Locality......Page 235
8.1.3. Jet Locality......Page 236
8.1.4. Firstand Second-Grade Materials......Page 239
8.1.5. Material Isomorphism......Page 240
8.1.6. Material Symmetries and the Nonuniqueness of Material Isomorphisms......Page 245
8.2.2. Groupoids......Page 247
8.3.2. Fromthe Groupoid to the Principal Bundle......Page 251
8.4. Flatness and Homogeneity......Page 253
8.5. Distributions and the Theorem of Frobenius......Page 254
8.6.1. Jets of Sections......Page 256
8.6.2. Jet Bundles......Page 257
8.6.3. Differential Equations......Page 258
9.1.1. Definition......Page 259
9.1.2. Parallel Transport Along a Curve......Page 261
9.2.1. Definition......Page 262
9.2.2. Existence......Page 263
9.2.3. Curvature......Page 264
9.2.5. Bianchi Identities......Page 265
9.3.1. The Canonical 1-Form......Page 266
9.3.2. The Christoffel Symbols......Page 267
9.3.3. Parallel Transport and the Covariant Derivative......Page 268
9.3.4. Curvature and Torsion......Page 269
9.4. G-Connections\n......Page 272
9.4.1. Reduction of Principal Bundles......Page 273
9.4.2. G-structures\n......Page 275
9.4.3. Local Flatness......Page 276
9.5. Riemannian Connections......Page 278
9.6.1. Uniformity and Homogeneity......Page 279
9.6.2. Homogeneity in Terms of a Material Connection......Page 280
9.6.3. Homogeneity in Terms of a Material G-structure......Page 282
9.6.4. Homogeneity in Terms of the Material Groupoid......Page 283
9.7.1. Solids......Page 284
9.7.2. Fluids......Page 286
9.7.3. Fluid Crystals......Page 287
A.1. Bodies and Configurations......Page 288
A.2. Observers and Frames......Page 289
A.3. Strain......Page 290
A.4. Volume and Area......Page 294
A.5. The Material Time Derivative......Page 295
A.6. Change of Reference......Page 296
A.7. Transport Theorems......Page 298
A.8. The General Balance Equation......Page 299
A.9. The Fundamental Balance Equations of Continuum Mechanics......Page 303
A.10. A Modicum of Constitutive Theory......Page 309
A.10.1. The Principle of Material Frame Indifference and Its Applications......Page 310
A.10.2. The Principle of Thermodynamic Consistency and Its Applications......Page 314
A.10.3. Material Symmetries......Page 317
Index......Page 320