The Fourfold Way In Real Analysis: An Alternative to the Metaplectic Representation

راه چهارگانه با در نظر گرفتن کل توابع یک متغیر شروع می‌شود که تخمین‌های خاصی را در بی‌نهایت برآورده می‌کند، هم در خط واقعی و هم در خط خیالی خالص. بخش عمده ای از تحلیل کلاسیک، عمدتاً آن چیزی که به تحلیل فوریه و مفاهیم مرتبط می پردازد، می تواند آنالوگ وابسته به پارامتر داده شود. پارامتر مقداری مدول عدد واقعی 2 است، حالت کلاسیک زمانی بدست می آید کهیک عدد صحیح باشد. فضای L²(R) باید جای خود را به فضای شبه هیلبرت بدهد، که در آن یک انتگرال تغییر ناپذیر ترجمه هنوز وجود دارد. همه اینها به حالت ابعادی n- گسترش می‌یابد، و در جایگزینی برای نمایش متاپلکتیکی به دست آمده، فضای زیرفضاهای لاگرانژی R ^{است. 2n}که نقش معمول دامنه پیچیده سیگل را ایفا می کند. در تحلیل چهارگانه، طیف نوسانگر هارمونیک می تواند یک مدول کلاس دلخواه اعداد صحیح باشد.

اگرچه کل توسعه مفاهیم نظریه بازنمایی، نظریه عملگر شبه دیفرانسیل و هندسه جبری را در بر می گیرد، اما در تمام این جنبه ها کاملاً ابتدایی باقی می ماند. این کتاب باید مورد توجه محققانی باشد که در تجزیه و تحلیل به طور کلی، در تجزیه و تحلیل هارمونیک، یا در فیزیک ریاضی کار می کنند.

The fourfold way starts with the consideration of entire functions of one variable satisfying specific estimates at infinity, both on the real line and the pure imaginary line. A major part of classical analysis, mainly that which deals with Fourier analysis and related concepts, can then be given a parameter-dependent analogue. The parameter is some real number modulo 2, the classical case being obtained when itis an integer. The space L²(R) has to give way to a pseudo-Hilbert space, on which a new translation-invariant integral still exists. All this extends to the n-dimensional case, and in the alternative to the metaplectic representation so obtained, it is the space of Lagrangian subspaces of R²ⁿthat plays the usual role of the complex Siegel domain. In fourfold analysis, the spectrum of the harmonic oscillator can be an arbitrary class modulo the integers.

Even though the whole development touches upon notions of representation theory, pseudodifferential operator theory, and algebraic geometry, it remains completely elementary in all these aspects. The book should be of interest to researchers working in analysis in general, in harmonic analysis, or in mathematical physics.