The Foundations of Topological Graph Theory

این یک کار سنتی روی نظریه گراف توپولوژیکی نیست. هیچ نمودار جریان یا گراف ولتاژی صفحات آن را زینت نمی دهد. خوانندگان آن جنس (قابل جهت یا غیر جهت‌پذیر) یک گراف غیرمسطح را محاسبه نمی‌کنند. ماهیچه های آنها تحت فشار پیاده روی از نمودارهای پایه به نمودارهای مشتق شده خم نمی شوند. آن وقت چیست؟ این تلاشی است برای قرار دادن نظریه گراف توپولوژیکی بر مبنایی کاملاً ترکیبی و در عین حال دقیق. وسیله نقلیه انتخاب شده برای این منظور مفهوم یک نمودار 3 است که یک تعمیم ترکیبی از یک جاسازی است. این نمودارهای مکعبی رنگی مناسب برای طبقه بندی سطوح، تعمیم قضیه منحنی جردن، و برای اثبات مشخصات مک لین از نمودارهای مسطح استفاده می شود. بنابراین آنها نقش اصلی را در این کتاب ایفا می کنند، اما پیشنهاد نمی شود که آنها لزوما موثرترین ابزار در زمینه های نظریه گراف توپولوژیکی هستند که در این جلد به آنها پرداخته نشده است. اگرچه نمودارهای 3 برای بررسی های ما مثمر ثمر بوده است، اما سایر جواهرات باید با عدسی متفاوت بررسی شوند. تنها شرط لازم برای درک توسعه منطقی در این کتاب، دانش ابتدایی فضاهای برداری در زمینه Z2 کلاس‌های باقیمانده مدول 2 است. گروه‌ها گهگاه ذکر می‌شوند، اما هیچ تخصص در تئوری گروه مورد نیاز نیست. با این حال، خوانندگانی که با توپولوژی آشنا هستند، از این درمان به بهترین وجه قدردانی خواهد شد. برای درک بیشتر انگیزه هایی که برای برخی از مفاهیم معرفی شده ارائه می کنیم، مقدار کمی از توپولوژی مورد نیاز است.

This is not a traditional work on topological graph theory. No current graph or voltage graph adorns its pages. Its readers will not compute the genus (orientable or non-orientable) of a single non-planar graph. Their muscles will not flex under the strain of lifting walks from base graphs to derived graphs. What is it, then? It is an attempt to place topological graph theory on a purely combinatorial yet rigorous footing. The vehicle chosen for this purpose is the con­ cept of a 3-graph, which is a combinatorial generalisation of an imbedding. These properly edge-coloured cubic graphs are used to classify surfaces, to generalise the Jordan curve theorem, and to prove Mac Lane's characterisation of planar graphs. Thus they playa central role in this book, but it is not being suggested that they are necessarily the most effective tool in areas of topological graph theory not dealt with in this volume. Fruitful though 3-graphs have been for our investigations, other jewels must be examined with a different lens. The sole requirement for understanding the logical development in this book is some elementary knowledge of vector spaces over the field Z2 of residue classes modulo 2. Groups are occasionally mentioned, but no expertise in group theory is required. The treatment will be appreciated best, however, by readers acquainted with topology. A modicum of topology is required in order to comprehend much of the motivation we supply for some of the concepts introduced.