The Dirichlet Problem with L2-Boundary Data for Elliptic Linear Equations

مسئله دیریکله سابقه بسیار طولانی در ریاضیات دارد و اهمیت آن در معادلات دیفرانسیل جزئی، تحلیل هارمونیک، نظریه پتانسیل و علوم کاربردی شناخته شده است. در دهه گذشته مسئله دیریکله با داده های مرزی L2 توجه بسیاری از ریاضیدانان را به خود جلب کرده است. از ویژگی های مهم این تحقیق اخیر می توان به استفاده از فضاهای وزن دار سوبولف، نتایج وجود معادلات بیضوی تحت مفروضات نظم بسیار ضعیف بر روی ضرایب، تخمین انرژی شامل هنجار L2 یک داده مرزی و ساخت فضایی بزرگتر از فضای معمول سوبولف اشاره کرد. W1,2 به طوری که هر تابع L2 در مرز یک مجموعه داده شده ردپای عنصر مناسب این فضا باشد. این کتاب شرح مختصری از جنبه های اصلی این تحولات اخیر ارائه می دهد و برای محققان و دانشجویان تحصیلات تکمیلی در نظر گرفته شده است. دانش اولیه در مورد فضاهای سوبولف و نظریه اندازه گیری مورد نیاز است.

The Dirichlet problem has a very long history in mathematics and its importance in partial differential equations, harmonic analysis, potential theory and the applied sciences is well-known. In the last decade the Dirichlet problem with L2-boundary data has attracted the attention of several mathematicians. The significant features of this recent research are the use of weighted Sobolev spaces, existence results for elliptic equations under very weak regularity assumptions on coefficients, energy estimates involving L2-norm of a boundary data and the construction of a space larger than the usual Sobolev space W1,2 such that every L2-function on the boundary of a given set is the trace of a suitable element of this space. The book gives a concise account of main aspects of these recent developments and is intended for researchers and graduate students. Some basic knowledge of Sobolev spaces and measure theory is required.