The Dirichlet Problem for Elliptic-Hyperbolic Equations of Keldysh Type

معادلات دیفرانسیل جزئی از نوع مختلط بیضی-هذلولی در حوزه‌های مختلفی از فیزیک و هندسه، از جمله دینامیک سیالات و پلاسما، اپتیک، کیهان‌شناسی، مهندسی ترافیک، هندسه تصویری، نظریه تغییرات هندسی، و نظریه تعبیه‌های ایزومتریک به وجود می‌آیند. و با این حال حتی تئوری خطی این معادلات در مرحله بسیار اولیه است. این متن به بررسی مسائل مختلف دیریکله می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را برای معادلات از نوع کلدیش، یکی از دو کلاس اصلی معادلات بیضی-هذلولی خطی، فرمول‌بندی کرد. شرایط مرزی باز (که در آن داده ها فقط در بخشی از مرز تجویز می شوند) و شرایط مرزی بسته (که در آن داده ها در کل مرز تجویز می شوند) هر دو در نظر گرفته می شوند. تاکید بر فرمول بندی شرایط مرزی است که راه حل ها را می توان در یک فضای تابع مناسب نشان داد. کاربردهای خاص برای فیزیک پلاسما، اپتیک، و تجزیه و تحلیل در فضاهای تصویری مورد بحث قرار می گیرد. (از مقدمه)

Partial differential equations of mixed elliptic-hyperbolic type arise in diverse areas of physics and geometry, including fluid and plasma dynamics, optics, cosmology, traffic engineering, projective geometry, geometric variational theory, and the theory of isometric embeddings. And yet even the linear theory of these equations is at a very early stage. This text examines various Dirichlet problems which can be formulated for equations of Keldysh type, one of the two main classes of linear elliptic-hyperbolic equations. Open boundary conditions (in which data are prescribed on only part of the boundary) and closed boundary conditions (in which data are prescribed on the entire boundary) are both considered. Emphasis is on the formulation of boundary conditions for which solutions can be shown to exist in an appropriate function space. Specific applications to plasma physics, optics, and analysis on projective spaces are discussed. (From the preface)