The Decomposition of Primes in Torsion Point Fields

این یک هدف تاریخی تئوری اعداد جبری است که تمام الحاقات جبری را به ساختارهایی که به طور انحصاری بر حسب پایه ?الد توضیح داده شده اند، مرتبط کند. ساختارهای مناسب ایده آل های اول حلقه اعداد صحیح عدد ?eld در نظر گرفته شده هستند. با بررسی رفتار ایده‌های اولیه در هنگام تعبیه شده در بخش توسعه، باید اطلاعات کافی جمع‌آوری شود تا پسوند داده‌شده را از همه پسوندهای احتمالی دیگر متمایز کند. حلقه اعداد صحیح O یک عدد جبری ?eld k یک حلقه ددکیند است. k هر ایده آل غیر صفر در O دارای تجزیه به حاصلضرب k از ایده آل های اول در O است که تا جایگشت عوامل منحصر به فرد است. این تجزیه k تجزیه عامل اول اعداد در Z Z را تعمیم می دهد. برای حفظ منحصر به فرد بودن عوامل، باید دیدگاه را از عناصر O به ایده آل های O تغییر داد. k k با توجه به پسوند K/k اعداد جبری ?elds و p ایده آل اول O، قانون تجزیه K/k تجزیه حاصلضرب k ایده آل تولید شده توسط p در O را توصیف می کند و کمیت های مشخصه آن را نام می برد. ه. K تعداد فاکتورهای ایده آل اول متفاوت، درجات اینرسی مربوطه و شاخص های رگه مربوطه آنها. وقتی به قوانین تجزیه نگاه می کنیم، ابتدا باید خود را به پسوندهای Galois محدود کنیم. این مورد خاص در حال حاضر چند مشکل دارد.

It is an historical goal of algebraic number theory to relate all algebraic extensionsofanumber?eldinauniquewaytostructuresthatareexclusively described in terms of the base ?eld. Suitable structures are the prime ideals of the ring of integers of the considered number ?eld. By examining the behaviouroftheprimeidealswhenembeddedintheextension?eld,su?cient information should be collected to distinguish the given extension from all other possible extension ?elds. The ring of integers O of an algebraic number ?eld k is a Dedekind ring. k Any non-zero ideal in O possesses therefore a decomposition into a product k of prime ideals in O which is unique up to permutations of the factors. This k decomposition generalizes the prime factor decomposition of numbers in Z Z. In order to keep the uniqueness of the factors, view has to be changed from elements of O to ideals of O . k k Given an extension K/k of algebraic number ?elds and a prime ideal p of O , the decomposition law of K/k describes the product decomposition of k the ideal generated by p in O and names its characteristic quantities, i. e. K the number of di?erent prime ideal factors, their respective inertial degrees, and their respective rami?cation indices. Whenlookingatdecompositionlaws,weshouldinitiallyrestrictourselves to Galois extensions. This special case already o?ers quite a few di?culties.