The Convergence Problem for Dissipative Autonomous Systems: Classical Methods and Recent Advances

این کتاب روش‌های مطالعه کلاسیک و جدیدتر را برای رفتار مجانبی سیستم‌های دینامیکی پیوسته پراکنده با کاربرد در معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی بررسی می‌کند، که سوال اصلی همگرایی (یا نه) راه‌حل‌های تعادل است. پس از بررسی مفاهیم اساسی دینامیک توپولوژیکی و تعریف سیستم‌های گرادیان مانند در فضای متریک، نویسندگان یک توضیح جامع از نظریه پایداری با تکیه بر روش به اصطلاح خطی‌سازی ارائه می‌کنند. برای خود مسئله همگرایی، زمانی که مجموعه تعادل ها نامتناهی است، تنها نتایج کلی که به ویژگی های خیلی خاص غیرخطی ها نیاز ندارند، در حال حاضر پیامدهای یک نابرابری گرادیان کشف شده توسط S. Lojasiewicz هستند. بکارگیری این نابرابری همراه با کاهش به اصطلاح لیاپانوف-اشمیت مستلزم ارائه دقیق نظریه عملگر نیمه فردهولم و نظریه نقشه های تحلیلی واقعی بر روی فضاهای بی نهایت بعدی Banach است که در هیچ کجا به شکلی قابل اجرا نمی توان یافت. کاربردهایی که در این متن کوتاه مورد بررسی قرار می‌گیرند، ساده‌ترین، اما موارد پیچیده‌تر در فصل آخر همراه با ارجاع به مقالات تخصصی مربوطه ذکر شده‌اند.

The book investigates classical and more recent methods of study for the asymptotic behavior of dissipative continuous dynamical systems with applications to ordinary and partial differential equations, the main question being convergence (or not) of the solutions to an equilibrium. After reviewing the basic concepts of topological dynamics and the definition of gradient-like systems on a metric space, the authors present a comprehensive exposition of stability theory relying on the so-called linearization method. For the convergence problem itself, when the set of equilibria is infinite, the only general results that do not require very special features of the non-linearities are presently consequences of a gradient inequality discovered by S. Lojasiewicz. The application of this inequality jointly with the so-called Liapunov-Schmidt reduction requires a rigorous exposition of Semi-Fredholm operator theory and the theory of real analytic maps on infinite dimensional Banach spaces, which cannot be found anywhere in a readily applicable form. The applications covered in this short text are the simplest, but more complicated cases are mentioned in the final chapter, together with references to the corresponding specialized papers.