The Bochner Integral

نظریه انتگرال Lebesgue هنوز هم به عنوان یک نظریه دشوار در نظر گرفته می شود، صرف نظر از اینکه بر اساس مفهوم اندازه گیری باشد یا با روش های دیگر معرفی شود. هدف اصلی این کتاب ارائه رویکردی است که تا حد امکان قابل فهم و شفاف باشد. تعریف ما که در فصل اول ارائه شده است، برای پیشینه خود فقط کمی از نظریه سری های کاملاً همگرا را می طلبد تا برای دانشجویان دوره اول کارشناسی قابل درک باشد. با این وجود، انتگرال Lebesgue را در کلیت کامل خود به دست می دهد و علاوه بر این، به طور خودکار به انتگرال بوشنر گسترش می یابد (با جایگزینی ضرایب واقعی سری ها با عناصر فضای Banach). به نظر می رسد که رویکرد ما به اندازه کافی ساده است تا نظریه ادغام کم فایده ریمان را از دروس معمولی ریاضی حذف کنیم. به طور شهودی، تفاوت بین رویکردهای مختلف برای ادغام ممکن است با داستان زیر در مورد کفاشیان آشکار شود. یک تکه چرم، مانند شکل 1، داده شده است. وظیفه شامل اندازه گیری مساحت آن است. سه کفاش هستند و هر کدام به روش خود تکلیف را حل می کنند. A B شکل 1 کفشدار R. چرم را به تعداد محدودی نوار عمودی تقسیم می کند و نوارها را تقریباً به صورت مستطیل در نظر می گیرد. مجموع مساحت تمام مستطیل ها برای مساحت تقریبی چرم در نظر گرفته می شود (شکل 2). اگر او از دقت به دست آمده راضی نباشد، با تقسیم چرم به نوارهای نازک تر، کل روش را تکرار می کند.

The theory of the Lebesgue integral is still considered as a difficult theory, no matter whether it is based the concept of measure or introduced by other methods. The primary aim of this book is to give an approach which would be as intelligible and lucid as possible. Our definition, produced in Chapter I, requires for its background only a little of the theory of absolutely convergent series so that it is understandable for students of the first undergraduate course. Nevertheless, it yields the Lebesgue integral in its full generality and, moreover, extends automatically to the Bochner integral (by replacing real coefficients of series by elements of a Banach space). It seems that our approach is simple enough as to eliminate the less useful Riemann integration theory from regular mathematics courses. Intuitively, the difference between various approaches to integration may be brought out by the following story on shoemakers. A piece of leather, like in Figure 1, is given. The task consists in measuring its area. There are three shoemakers and each of them solves the task in his own way. A B Fig. 1 The shoemaker R. divides the leather into a finite number of vertical strips and considers the strips approximately as rectangles. The sum of areas of all rectangles is taken for an approximate area of the leather (Figure 2). If he is not satisfied with the obtained exactitude, he repeats the whole procedure, by dividing the leather into thinner strips.