The Arithmetic of Elliptic Curves

تئوری منحنی‌های بیضوی با سابقه طولانی و تنوع روش‌هایی که در مطالعه آن استفاده شده است متمایز می‌شود. این کتاب با استفاده از تئوری اعداد جبری پایه و هندسه جبری، نظریه حسابی منحنی‌های بیضوی را در فرمول مدرن خود بررسی می‌کند. کتاب با بحث مختصری در مورد نتایج جبری-هندسی ضروری آغاز می‌شود و با توضیح هندسه منحنی‌های بیضوی، گروه رسمی منحنی‌های بیضوی، و منحنی‌های بیضوی بر روی میدان‌های محدود، اعداد مختلط، میدان‌های محلی و زمینه های جهانی شامل شواهدی از قضیه Mordell-Weil که تولید محدودی از گروه نقاط گویا را ارائه می دهد و قضیه سیگل در مورد متناهی نقاط انتگرال است.

برای این ویرایش دوم The حساب منحنی های بیضوی، فصل جدیدی با عنوان جنبه های الگوریتمی منحنی های بیضوی، با تاکید بر الگوریتم ها در زمینه های محدود که کاربردهای رمزنگاری دارند، وجود دارد. اینها شامل الگوریتم فاکتورسازی لنسترا، الگوریتم شمارش نقطه شوف، الگوریتم میلر برای محاسبه جفت‌های تیت و ویل و شرح جنبه‌های رمزنگاری منحنی بیضوی است. همچنین یک بخش جدید در مورد حدس و ABC Szpiro، و همچنین گزارش های توسعه یافته و به روز شده از پیشرفت های اخیر و تمرین های جدید متعدد وجود دارد.

کتاب شامل سه پیوست است: منحنی های بیضوی در ویژگی‌های 2 و 3، هم‌شناسی گروهی، و ضمیمه سوم که مروری بر موضوعات پیشرفته‌تر دارد.

The theory of elliptic curves is distinguished by its long history and by the diversity of the methods that have been used in its study. This book treats the arithmetic theory of elliptic curves in its modern formulation, through the use of basic algebraic number theory and algebraic geometry. The book begins with a brief discussion of the necessary algebro-geometric results, and proceeds with an exposition of the geometry of elliptic curves, the formal group of an elliptic curve, and elliptic curves over finite fields, the complex numbers, local fields, and global fields. Included are proofs of the Mordell–Weil theorem giving finite generation of the group of rational points and Siegel's theorem on finiteness of integral points.

For this second edition of The Arithmetic of Elliptic Curves, there is a new chapter entitled Algorithmic Aspects of Elliptic Curves, with an emphasis on algorithms over finite fields which have cryptographic applications. These include Lenstra's factorization algorithm, Schoof's point counting algorithm, Miller's algorithm to compute the Tate and Weil pairings, and a description of aspects of elliptic curve cryptography. There is also a new section on Szpiro's conjecture and ABC, as well as expanded and updated accounts of recent developments and numerous new exercises.

The book contains three appendices: Elliptic Curves in Characteristics 2 and 3, Group Cohomology, and a third appendix giving an overview of more advanced topics.