The amazing world of quantum computing

Our World Consists of Both Real and Imagined Things......Page 6
 Acknowledgements......Page 7
 My Expectations from the Reader......Page 8
Contents......Page 11
About the Author......Page 17
 1.1 Introduction......Page 18
 1.2 Hello to Some Weirdness in Quantum Mechanics......Page 19
 1.3 Time for Some Mathematics......Page 21
  1.3.1 Quantum Operators that Act on a Qubit......Page 22
  1.3.2 A Quantum Operator that Acts on a Qubit Pair......Page 24
 1.4 Encryption and Key Distribution......Page 25
 1.5 Teleportation......Page 28
 References......Page 31
 2.1 Introduction......Page 34
 2.2 Two-Layer Description of the World......Page 35
  2.2.2 Complementarity (Wave-Particle Duality)......Page 36
  2.2.3 Causality and Determinism......Page 39
 2.3 Superposition, Measurement, and Entanglement......Page 40
 2.4 Classical Mechanics Powers Our Intuition......Page 42
 2.5 The Birth of Modern Quantum Mechanics......Page 43
  2.5.1 Serendipity at Work......Page 45
 2.7 Postulates of Quantum Mechanics Formally Stated......Page 47
  2.7.2 A Quantum System Evolves via Unitary Transformations......Page 48
  2.7.3 A Quantum System Collapses When Measured......Page 49
  2.7.4 Hilbert Space Grows Rapidly with the Size of a Quantum System......Page 50
  2.7.5 Born’s Probabilistic Interpretation......Page 52
  2.7.6 Heisenberg’s Uncertainty Principle......Page 53
 2.8 Observables and Operators......Page 54
  2.8.1 Observables in Quantum Mechanics Are Operators......Page 55
  2.8.2 The Need for Observable-Operators......Page 56
  2.8.3 Remarks on Vector Spaces......Page 57
 2.9 Weirdness of Quantum Mechanics (In Summary)......Page 58
 2.10 Interpretations of Quantum Mechanics......Page 60
  2.10.2 Everett’s Many-World Interpretation......Page 61
  2.10.3 Bohm’s Interpretation......Page 62
 2.11 From Galileo–Newton to Schrödinger–Born......Page 63
 2.12 Concluding Remarks......Page 64
 References......Page 65
 3.1 Introduction......Page 69
  3.1.1 Propositional Calculus (Propositional Logic)......Page 70
  3.1.2 First-Order Predicate Calculus (First Order Logic)......Page 71
  3.2.1 Various Representations of a State Vector......Page 72
  3.2.2 Bases and Linear Independence......Page 74
 3.3 Linear Operators and Matrices......Page 77
  3.3.1 Inner Product......Page 78
  3.3.2 Outer Product......Page 79
  3.3.3 Tensor Product......Page 80
  3.4.1 Eigenvalues and Eigenvectors......Page 83
  3.4.3 Normal Operators and Spectral Decomposition......Page 84
  3.4.4 Unitary Operators......Page 85
  3.4.6 Trace of a Matrix......Page 86
  3.4.8 Polar and Singular Value Decompositions......Page 87
 3.5 Cauchy–Schwarz Inequality......Page 88
 3.6 Pauli Matrices......Page 89
 3.7 Concluding Remarks......Page 90
 References......Page 91
 4.1 Introduction......Page 92
 4.2 No-Cloning Theorem......Page 93
 4.3 No-Deleting Theorem......Page 95
 4.4 No-Hiding Theorem......Page 96
 4.5 EPR Paradox and Bell Inequalities......Page 97
  4.5.2 Einstein, Podolsky, Rosen Pose a Paradox......Page 98
  4.5.3 What Does Hidden Variable Theory Mean?......Page 100
  4.5.4 Bell Inequality......Page 101
  4.5.5 An Intriguing Question......Page 103
  4.5.6 Returning to the Bell Inequality......Page 104
 4.6 Superposition and Indeterminacy......Page 105
 4.7 Mathematical Consequences......Page 106
 4.8 Concluding Remarks......Page 109
 References......Page 110
 5.2 Waves......Page 113
  5.2.3 Standing or Stationary Waves......Page 117
  5.2.4 Wave Packets......Page 118
  5.2.5 Probability Waves......Page 119
 5.3 Fourier Analysis......Page 120
 5.4 Wave Packets in Some Detail......Page 121
  5.4.1 Group and Phase Velocities......Page 122
 References......Page 123
 6.1 Introduction......Page 125
 6.2 Measurement of Quantum Systems......Page 126
  6.2.1 Cascaded Measurements Are Single Measurements......Page 128
  6.2.2 Projective Measurements; Observable-Operators......Page 129
  6.2.4 When Measurement Basis States Differ from Computational Basis States......Page 132
  6.2.5 Positive Operator-Valued Measure (POVM) Measurements......Page 133
  6.2.6 The Effect of Phase on Measurement......Page 134
  6.2.8 Measurement with Photons and Electrons......Page 135
  6.2.9 Whither Causality?......Page 136
 6.3 Heisenberg’s Uncertainty Principle (Revisited)......Page 137
 6.4 Concluding Remarks......Page 140
 References......Page 141
 7.1 Introduction......Page 142
 7.2 Operators (A Summary)......Page 144
 7.3 The Qubit......Page 145
  7.3.3 Unitary Operators......Page 147
  7.4.1 Pauli Gates and Other 1-Qubit Gates......Page 149
  7.4.2 2-Qubit Controlled-not Gate......Page 151
  7.4.3 Creating Entangled Bell States......Page 153
  7.4.5 3-Qubit Toffoli Gate......Page 154
  7.4.6 3-Bit Fredkin Gate......Page 156
  7.4.7 Controlled-U Gate......Page 157
  7.5.1 Universal Set of Classical Gates......Page 158
  7.5.2 Universal Set of Quantum Gates......Page 159
  7.6.2 n-Qubit Hadamard Gate......Page 161
 7.7 Taking Stock of Gates......Page 162
 7.8 Concluding Remarks......Page 165
 References......Page 166
 8.1 Introduction......Page 168
  8.1.1 Mach–Zehnder Interferometer......Page 169
  8.2.1 Computing x ∧ y......Page 171
  8.2.3 Swapping States......Page 172
  8.2.4 The Deutsch Algorithm......Page 173
  8.2.5 The Deutsch–Jozsa Algorithm......Page 175
  8.2.6 Computing f(x) in Parallel......Page 176
  8.2.7 Hardy’s Reprieve......Page 177
  8.2.8 The Elitzur–Vaidman Bomb Problem......Page 179
  8.2.9 Securing Banknotes......Page 181
 References......Page 182
 9.1 Introduction......Page 184
 9.2 Hilbert’s Second Problem......Page 185
  9.2.1 Recursive Set......Page 187
 9.3 Hilbert’s Tenth Problem......Page 188
 9.4 Turing and the Entscheidungsproblem......Page 190
  9.4.1 Turing’s Halting Problem......Page 192
  9.4.2 The Church–Turing Thesis......Page 196
  9.4.3 Deutsch on the Church–Turing Thesis......Page 197
 9.5 Thermodynamic Considerations......Page 198
  9.5.1 The One-Molecule Gas......Page 200
  9.5.3 Information Is Physical......Page 201
  9.5.4 Toffoli Gate......Page 203
  9.5.5 Bennett’s Solution for Junk Bits......Page 204
  9.5.7 Maxwell’s Demon......Page 205
 9.6 Computational Complexity......Page 208
  9.6.1 Classification of Complexity......Page 212
 9.7 Concluding Remarks......Page 216
 References......Page 217
 10.1 Introduction......Page 220
 10.2 General Remarks on Quantum Algorithms......Page 221
  10.3.1 Some Important Properties of Congruence......Page 222
  10.3.2 Congruence Classes......Page 223
 10.4 Bits and Qubits......Page 224
  10.4.2 String Manipulation Leads to Algorithms......Page 225
 10.5 UTM, DTM, PTM, and QTM......Page 227
  10.5.1 Are Quantum Computers More Powerful?......Page 228
  10.6.1 Background......Page 229
  10.6.2 Quantum Fourier Transform......Page 230
 10.7 Computing the Period of a Sequence......Page 234
 10.8 Shor’s Factoring Algorithm......Page 237
  10.8.2 Computational Complexity of Shor’s Algorithm......Page 239
 10.9 Phase Estimation Problem......Page 240
 10.10 Grover’s Search Algorithm......Page 242
  10.10.1 Grover’s Algorithm Verified......Page 246
 10.11 Dense Coding and Teleportation......Page 247
  10.11.1 Dense Coding......Page 248
  10.11.2 Teleportation......Page 249
 10.12 Concluding Remarks......Page 250
 References......Page 251
 11.1 Introduction......Page 254
 11.2 Protecting the Computational Hilbert Space......Page 255
  11.2.1 Dissipation......Page 256
  11.2.2 Decoherence......Page 257
  11.3.1 Encoding-Decoding......Page 259
  11.3.2 Steps of Error Correction......Page 260
 11.4 Decoherence-Free Subspace......Page 263
 References......Page 264
 12.1 Introduction......Page 266
 12.2 A Conjectured Sub-planck Mechanism......Page 268
  12.3.1 Measurement of a Two-Particle Entangled System......Page 271
 12.4 Teleporting a Qubit of an Unknown State......Page 272
 References......Page 275
Index......Page 276