Tame Geometry with Application in Smooth Analysis

قضیه مورس-سارد یک نتیجه نسبتاً ظریف است و تعامل بین ساختار تحلیلی مرتبه بالا نگاشتهای درگیر و هندسه آنها به ندرت آشکار می شود. دلیل اصلی این است که قضیه کلاسیک مورس سارد اساساً کیفی است. این جلد یک اثبات و همچنین «توضیح» قضیه کمی مورس سارد و نتایج مرتبط را ارائه می‌کند، که با مطالعه نگاشت‌های چند جمله‌ای (یا رام) آغاز می‌شود. پرسش‌های کمی که با ترکیبی از روش‌های هندسه نیمه جبری واقعی و رام و هندسه انتگرال پاسخ داده می‌شوند، بی‌اهمیت و بسیار سازنده هستند. مزیت مهم این رویکرد این است که امکان جداسازی نقش تمایزپذیری بالا و هندسه جبری را در یک محیط صاف فراهم می‌کند: همه پدیده‌های مرتبط هندسی از قبل برای نگاشت چند جمله‌ای ظاهر می‌شوند. ویژگی‌های هندسی به‌دست‌آمده \"پایدار با توجه به تقریب\" هستند و می‌توانند از طریق تقریب چند جمله‌ای بر توابع صاف اعمال شوند.

The Morse-Sard theorem is a rather subtle result and the interplay between the high-order analytic structure of the mappings involved and their geometry rarely becomes apparent. The main reason is that the classical Morse-Sard theorem is basically qualitative. This volume gives a proof and also an "explanation" of the quantitative Morse-Sard theorem and related results, beginning with the study of polynomial (or tame) mappings. The quantitative questions, answered by a combination of the methods of real semialgebraic and tame geometry and integral geometry, turn out to be nontrivial and highly productive. The important advantage of this approach is that it allows the separation of the role of high differentiability and that of algebraic geometry in a smooth setting: all the geometrically relevant phenomena appear already for polynomial mappings. The geometric properties obtained are "stable with respect to approximation", and can be imposed on smooth functions via polynomial approximation.