Surveys in Differential Geometry, Vol. 5: Differential Geometry Inspired by String Theory

Cover......Page 1
Title Page......Page 2
Copyright Page......Page 3
Introduction......Page 4
Table of Contents......Page 5
5. Four-Dimensional Theories 4.......Page 7
1. Introduction......Page 0
2. Classical Geometry......Page 10
3. The World-Sheet Perspective......Page 29
4. Type II String Theory......Page 39
6. The Heterotic String......Page 73
References......Page 95
Symplectic Geometry and the Verlinde Formulas......Page 103
Introduction......Page 104
1. Simple Lie groups and their centralizers......Page 109
2. Fourier analysis on the centralizers of semisimple Lie groups......Page 132
3. Symplectic manifolds and moment maps......Page 159
4. The affine space of connections......Page 176
5. The moduli space of flat bundles on a Riemann surface......Page 200
6. The Riemann-Roch-Kawasaki formula on the moduli space of flat bundles......Page 254
7. Residues and the Verlinde formula......Page 283
8. The Verlinde formulas......Page 308
References......Page 314
1. Introduction......Page 319
2. Counting curves via the method of Yau and Zaslow......Page 320
3. Problems and conjectures......Page 322
4. Gromov-Witten invariants......Page 325
5. Modified invariants and the case of K3 and Abelian surfaces......Page 331
References......Page 341
§0. Introduction.......Page 347
§1. Special Lagrangian Fibrations.......Page 352
§2. Action-angle Coordinates.......Page 355
§3. Simplicity and the Leray spectral sequence revisited.......Page 361
§4. The symplectic form on D-brane moduli space.......Page 375
§5. Complex structures on special Lagrangian torus fibrations.......Page 381
§6. The complex structure on the mirror.......Page 393
§7. K3 Surfaces.......Page 399
§8. Postscript.......Page 406
Mirror Principle I......Page 411
1.1. The Mirror Principle......Page 412
1.2. Enumerative problems and the Mirror Conjecture......Page 415
1.3. Acknowledgements......Page 418
2.1. Preliminaries and notations......Page 419
2.2. Eulerity......Page 421
2.3. Concavex bundles......Page 427
2.4. Linked Euler data......Page 434
2.5. The Lagrange map and mirror transformations......Page 437
3. Applications......Page 443
3.1. The first convex example: The Mirror Conjecture......Page 446
3.2. First concave example: multiple-cover formula......Page 449
3.3. Second concave example: Kp2......Page 450
3.4. A concavex bundle on P3......Page 451
3.5. A concavex bundle on p4......Page 452
3.6. General concavex bundles......Page 453
3.7. Equivariant total Chern class......Page 454
3.8. Concluding remarks......Page 455
References......Page 457
Mirror Principle II......Page 461
1. Introduction......Page 462
1.1. Main Ideas......Page 463
2.1. Equivariant localization......Page 466
2.2. Functorial localization formula......Page 467
2.3. Balloon manifolds......Page 469
2.4. Sigma models......Page 472
2.5. Regularity of the collapsing map......Page 477
3. The Gluing Identity......Page 480
4. Euler Data......Page 485
4.1. An algebraic property......Page 487
5. Linking and Uniqueness......Page 488
6. Mirror Transformations......Page 492
7.1. The Euler data Q......Page 497
7.2. Linking theorem for A......Page 499
8.1. Toric manifolds......Page 501
8.2. Chern polynomials for mixed bundles......Page 502
8.3. Convex bundle......Page 505
8.4. A complete intersection in P1 x P2 X P2......Page 506
8.5. V = 01(-2) 0 C2(-2) on P1 x P1......Page 507
9.2. General projective balloon manifolds......Page 508
9.3. A General Mirror Formula......Page 509
9.4. Formulas without T-action......Page 510
References......Page 513
Differential Equations from Mirror Symmetry......Page 516
2. The mirror map and the prepotential......Page 517
3. Change of variables......Page 519
4. Some differential algebra......Page 521
5. ODEs for the Yukawa Coupling - Existence......Page 525
6. Remarks and examples......Page 529
References......Page 532
1. Introduction......Page 533
2. Symplectic reduction......Page 535
3. Moduli spaces of flat connections......Page 537
4. The push-forward of measures......Page 541
References......Page 548
A Brief Tour of GW Invariants......Page 549
1. GW invariant as counting invariant......Page 551
2. GW-invariants of algebraic varieties......Page 552
3. Symplectic GW invariants......Page 558
4. Proof of the main theorem......Page 572
5. Final remark......Page 573
References......Page 574