Supersingular p-adic L-functions, Maass-Shimura Operators and Waldspurger Formulas: (AMS-212) (Annals of Mathematics Studies, 402)

یک کمک پیشگامانه به نظریه اعداد که نتایج کلاسیک و مدرن را متحد می کند

این کتاب نظریه جدیدی از اشکال مدولار p-adic را توسعه می دهد. در منحنی های مدولار، تئوری کلاسیک کاتز را به مکان فوق منفرد بسط می دهد. نوآوری اصلی حرکت به سطح بی نهایت و گسترش ضرایب به چرخه های دوره ای است که از نظریه نسبی p-adic Hodge حاصل می شود. این امر باعث می‌شود که دسته Hodge در منحنی مدولار سطح بی‌نهایت توسط یک «دیفرانسیل متعارف» که به دیفرانسیل متعارف کاتز در برج معمولی ایگوسا محدود می‌شود، بی‌اهمیت جلوه دهد. دانیل کریز فرم‌های مدولار تعمیم‌یافته p-adic را به‌عنوان بخش‌هایی از قرقره‌های دوره نسبی که تحت گروه Galois منحنی مدولار بر اساس کاراکترهای وزنی تبدیل می‌شوند، تعریف می‌کند. او دوره اساسی د رام را معرفی می کند و موقعیت فیلتراسیون هاج را در همومولوژی نسبی د رام می سنجد. این دوره را می توان به عنوان همتای دوره هاج تیت شولز در نظر گرفت و این دو دوره رابطه ای از نوع لژاندر را برآورده می کنند. با استفاده از این دوره‌ها، کریز تقسیم‌هایی از فیلتراسیون هاج را بر روی منحنی مدولار سطح بی‌نهایت ایجاد می‌کند و عملگرهای p-adic Maass-Shimura را تعریف می‌کند که بر روی فرم‌های مدولار تعمیم یافته p-adic عمل می‌کنند. به عنوان اپراتورهای افزایش وزن از طریق تجزیه و تحلیل ویژگی‌های p-adic این عملگرهای Maass-Shimura، او توابع جدید p-adic L را می‌سازد که رتبه‌بندی بحرانی مرکزی را درون‌یابی می‌کنند. سلبرگ L-ارزش می دهد، که مشابه توابع p-adic L-کاتز، برتولینی-دارمون-پراسانا و لیو-ژانگ- است. Zhang برای میدان های درجه دوم خیالی که در آنها p بی اثر یا منشعب است. این توابع p-adic L- فرمول‌های p-adic Waldspurger جدید را در مقادیر ویژه ارائه می‌کنند.

A groundbreaking contribution to number theory that unifies classical and modern results

This book develops a new theory of p-adic modular forms on modular curves, extending Katz's classical theory to the supersingular locus. The main novelty is to move to infinite level and extend coefficients to period sheaves coming from relative p-adic Hodge theory. This makes it possible to trivialize the Hodge bundle on the infinite-level modular curve by a "canonical differential" that restricts to the Katz canonical differential on the ordinary Igusa tower. Daniel Kriz defines generalized p-adic modular forms as sections of relative period sheaves transforming under the Galois group of the modular curve by weight characters. He introduces the fundamental de Rham period, measuring the position of the Hodge filtration in relative de Rham cohomology. This period can be viewed as a counterpart to Scholze's Hodge-Tate period, and the two periods satisfy a Legendre-type relation. Using these periods, Kriz constructs splittings of the Hodge filtration on the infinite-level modular curve, defining p-adic Maass-Shimura operators that act on generalized p-adic modular forms as weight-raising operators. Through analysis of the p-adic properties of these Maass-Shimura operators, he constructs new p-adic L-functions interpolating central critical Rankin-Selberg L-values, giving analogues of the p-adic L-functions of Katz, Bertolini-Darmon-Prasanna, and Liu-Zhang-Zhang for imaginary quadratic fields in which p is inert or ramified. These p-adic L-functions yield new p-adic Waldspurger formulas at special values.