Superconcentration and Related Topics

یک ویژگی عجیب اجسام تصادفی که توسط نویسنده با عنوان "فوق تمرکز" معرفی شده است و دو موضوع مرتبط "آشوب" و "دره های متعدد" در این کتاب برجسته شده است. اگرچه تمرکز فوق العاده خود را به عنوان یک ویژگی شناخته شده در تعدادی از حوزه های نظریه احتمال در بیست سال گذشته (با نام های مختلف) تثبیت کرده است، نویسنده اولین کسی بود که ارتباط آن را با هرج و مرج و دره های متعدد کشف و کشف کرد. او با استفاده از رویکرد طیفی به درجه قابل توجهی از ساده‌سازی و وضوح در ارائه این یافته‌ها دست می‌یابد.

درک نوسانات اجسام تصادفی یکی از اهداف اصلی نظریه احتمال و یک زیرشاخه کامل از احتمالات و احتمالات است. تجزیه و تحلیل، به نام تمرکز اندازه گیری، به درک این نوسانات اختصاص داده شده است. این زیرفیلد طیف وسیعی از ابزارها را برای محاسبه کرانهای بالایی بر اساس نوسانات متغیرهای تصادفی بسیار پیچیده ارائه می دهد. معمولاً، تمرکز اندازه‌گیری زمانی مفید است که رویکردهای مستقیم‌تر ویژه مشکل شکست بخورند. در نتیجه، در چهل سال گذشته به طور گسترده مورد پذیرش قرار گرفته است. و با این حال، دسته بزرگی از مسائل وجود دارد که در آنها غلظت کلاسیک اندازه گیری، مرزهای نابهینه را در جهت نوسانات ایجاد می کند. در اینجا سهم قابل توجهی از این کتاب نهفته است، که از مجموعه ای از شش سخنرانی که نویسنده برای اولین بار در مدرسه تابستانی احتمالات کرنل در ژوئیه 2012 برگزار کرد، ایجاد شد.

این کتاب با تعداد قابل توجهی از مسائل باز در هم آمیخته است. ریاضیدانان حرفه ای و همچنین تمرین هایی برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی که در زمینه های نظریه احتمالات و فیزیک ریاضی کار می کنند. این مطالب برای هر کسی که به احتمال زیاد در دوره تحصیلات تکمیلی شرکت کرده است در دسترس است.

A certain curious feature of random objects, introduced by the author as “super concentration,” and two related topics, “chaos” and “multiple valleys,” are highlighted in this book. Although super concentration has established itself as a recognized feature in a number of areas of probability theory in the last twenty years (under a variety of names), the author was the first to discover and explore its connections with chaos and multiple valleys. He achieves a substantial degree of simplification and clarity in the presentation of these findings by using the spectral approach.

Understanding the fluctuations of random objects is one of the major goals of probability theory and a whole subfield of probability and analysis, called concentration of measure, is devoted to understanding these fluctuations. This subfield offers a range of tools for computing upper bounds on the orders of fluctuations of very complicated random variables. Usually, concentration of measure is useful when more direct problem-specific approaches fail; as a result, it has massively gained acceptance over the last forty years. And yet, there is a large class of problems in which classical concentration of measure produces suboptimal bounds on the order of fluctuations. Here lies the substantial contribution of this book, which developed from a set of six lectures the author first held at the Cornell Probability Summer School in July 2012.

The book is interspersed with a sizable number of open problems for professional mathematicians as well as exercises for graduate students working in the fields of probability theory and mathematical physics. The material is accessible to anyone who has attended a graduate course in probability.