Summability of Multi-Dimensional Fourier Series and Hardy Spaces

تاریخچه تئوری مارتینگل به اوایل دهه پنجاه باز می گردد که دوب [57] به ارتباط بین مارتینگل ها و توابع تحلیلی اشاره کرد. بر اساس دستاوردهای علمی بورکهولدر، نظریه مارتینگل به خوبی می تواند در تحلیل پیچیده و در نظریه فضاهای هاردی کلاسیک به کار رود. این ارتباط نکته اصلی کتاب دورت [60] است. تئوری مارتینگل همچنین می تواند به خوبی در علم استوکاستیک و مالی ریاضی به کار رود. تئوری های مارتینگل یک پارامتری و فضاهای هاردی کلاسیک به طور جامع در ادبیات مورد بحث قرار گرفته اند (نگاه کنید به Garsia [83]، Neveu [138]، Dellacherie and Meyer [54، 55]، Long [124]، Weisz [216] و دورن [59]، استین [193، 194]، استاین و ویس [192]، لو [125]، اوچیاما [205]. تئوری فضاهای مارتینگل با پارامتر بیشتر و فضاهای هاردی مارتینگل در ایمکلر [107] و ویز [216] بررسی شده است. این اولین نمودار تکی است که نظریه فضاهای هاردی کلاسیک با پارامترهای بیشتر را در نظر می گیرد. روش های اثبات برای یک و چند پارامتر کاملاً متفاوت است. در بیشتر موارد، بررسی قضایای بیان شده برای چندین پارامتر بسیار دشوارتر است. روش موسوم به تجزیه اتمی که می تواند هم در موارد یک و هم بیشتر اعمال شود، برای مارتینگل توسط نویسنده در [216] در نظر گرفته شد.

The history of martingale theory goes back to the early fifties when Doob [57] pointed out the connection between martingales and analytic functions. On the basis of Burkholder's scientific achievements the mar­ tingale theory can perfectly well be applied in complex analysis and in the theory of classical Hardy spaces. This connection is the main point of Durrett's book [60]. The martingale theory can also be well applied in stochastics and mathematical finance. The theories of the one-parameter martingale and the classical Hardy spaces are discussed exhaustively in the literature (see Garsia [83], Neveu [138], Dellacherie and Meyer [54, 55], Long [124], Weisz [216] and Duren [59], Stein [193, 194], Stein and Weiss [192], Lu [125], Uchiyama [205]). The theory of more-parameter martingales and martingale Hardy spaces is investigated in Imkeller [107] and Weisz [216]. This is the first mono­ graph which considers the theory of more-parameter classical Hardy spaces. The methods of proofs for one and several parameters are en­ tirely different; in most cases the theorems stated for several parameters are much more difficult to verify. The so-called atomic decomposition method that can be applied both in the one-and more-parameter cases, was considered for martingales by the author in [216].