Stochastische Prozesse

این کتاب درسی به فرآیندهای تصادفی در زمان می پردازد. این دسته از مدل‌های ریاضی کاربردهای متنوعی برای مسائلی دارد که در آن‌ها می‌خواهید پدیده‌های تصادفی را در توسعه زمانی آنها ثبت کنید. در زمینه وسیع فرآیندهای تصادفی، ما بر موضوعاتی تمرکز می کنیم که هم از نظر ریاضی و هم از نظر کاربرد مهم هستند. نقطه شروع، نظریه انتظارات مشروط و مارتینگالس است که در نیمه دوم قرن بیستم، تصادفی را تغییر داد. در اینجا شخص با ایده یک بازی منصفانه هدایت می شود. در مقابل، زنجیره های مارکوف تحولات تصادفی را توصیف می کنند که در آن توزیع دوره آینده فقط به وضعیت فعلی بستگی دارد. در مورد فرآیندهای زمان پیوسته، حرکت براونی مهم ترین است. همراه با فرآیندهای نقطه پواسون و فرآیندهای لوی، در حد فاصل بین فرآیندهای مارتینگال و مارکوف قرار دارد. فصل آخر به فرآیندهای مارکوف پیوسته زمان و مولدهای آنها تا فرآیندهای فلر می پردازد.

این کتاب خود را به عنوان یک متن مقدماتی می بیند که موضوعات پیشرفته ای مانند تحلیل تصادفی را معرفی می کند. قضایای اساسی از نظریه اندازه گیری و ادغام استفاده می شود، با جنبه های احتمالی همیشه در پیش زمینه. این باعث می شود این کتاب برای مطالعات پیشرفته کارشناسی یا کارشناسی ارشد مقدماتی در ریاضیات مناسب باشد.

Dieses Lehrbuch beschäftigt sich mit stochastischen Prozessen in der Zeit. Diese Klasse von mathematischen Modellen hat vielfältige Anwendungen auf Problemstellungen, in denen man Zufallsphänomene in ihrer zeitlichen Entwicklung erfassen möchte. Im umfangreichen Gebiet der stochastischen Prozesse konzentrieren wir uns auf Themen, die sowohl mathematisch als auch von den Anwendungen her besonders bedeutungsvoll sind. Ausgangspunkt ist die Theorie der bedingten Erwartungen und der Martingale, die die Stochastik in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts neu prägte; hier orientiert man sich an der Vorstellung eines fairen Spiels. Demgegenüber beschreiben Markovketten zufällige Entwicklungen, bei denen die Verteilung des zukünftigen Verlaufs nur vom gegenwärtigen Zustand abhängt. Bei den zeitkontinuierlichen Prozessen steht die Brownsche Bewegung an erster Stelle. Zusammen mit den Poissonschen Punktprozessen und Lévyprozessen befindet sie sich an der Schnittstelle zwischen Martingalen und Markovprozessen. Ein abschließendes Kapitel beschäftigt sich mit zeitkontinuierlichen Markovprozessen und ihren Generatoren, bis hin zu Fellerprozessen.

Das Buch versteht sich als einführender Text, der an fortgeschrittene Themen wie etwa die stochastische Analysis heranführt. Grundlegende Sätze aus der Maß- und Integrationstheorie werden benutzt, dabei stehen immer die probabilistischen Aspekte im Vordergrund. Damit ist das Buch für das fortgeschrittene Bachelor- oder das einführende Masterstudium der Mathematik geeignet.