Stochastic Processes

Cover......Page 1
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Dedication......Page 7
Contents......Page 9
Preface......Page 15
Frequently used notation......Page 17
1.1 Processes and s-fields......Page 19
1.2 Laws and state spaces......Page 21
Exercises......Page 22
Notes......Page 23
2.1 Definition and basic properties......Page 24
Exercises......Page 29
Notes......Page 30
3.1 Definition and examples......Page 31
3.2 Doob's inequalities......Page 32
3.3 Stopping times......Page 33
3.5 Convergence and regularity......Page 35
3.6 Some applications of martingales......Page 38
Exercises......Page 40
4.1 Markov properties......Page 43
4.2 Applications......Page 45
Exercises......Page 47
5 The Poisson process......Page 50
Exercises......Page 52
6.1 Wiener's construction......Page 54
6.2 Martingale methods......Page 57
Exercises......Page 59
7 Path properties of Brownian motion......Page 61
Exercises......Page 65
8 The continuity of paths......Page 67
Exercises......Page 70
9.1 Definitions......Page 72
9.2 Square integrable martingales......Page 73
9.3 Quadratic variation......Page 75
9.4 The Doob–Meyer decomposition......Page 76
Exercises......Page 80
Notes......Page 81
10.1 Construction......Page 82
10.2 Extensions......Page 87
Exercises......Page 88
11 Ito's formula......Page 89
Exercises......Page 93
12.1 Levy's theorem......Page 95
12.2 Time changes of martingales......Page 96
12.4 Martingale representation......Page 97
12.5 The Burkholder–Davis–Gundy inequalities......Page 100
12.6 Stratonovich integrals......Page 102
Exercises......Page 103
13.1 The Brownian motion case......Page 107
Exercises......Page 110
14.1 Basic properties......Page 112
14.2 Joint continuity of local times......Page 114
14.3 Occupation times......Page 115
Exercises......Page 116
15.1 Preliminaries......Page 118
15.2 Construction of the embedding......Page 123
Exercises......Page 126
16.1 Predictable and optional processes......Page 129
16.2 Hitting times......Page 133
16.3 The debut and section theorems......Page 135
16.4 Projection theorems......Page 137
16.5 More on predictability......Page 138
16.6 Dual projection theorems......Page 140
16.7 The Doob–Meyer decomposition......Page 142
16.8 Two inequalities......Page 144
Exercises......Page 146
Notes......Page 147
17.1 Decomposition of martingales......Page 148
17.2 Stochastic integrals......Page 151
17.3 Ito's formula......Page 153
17.4 The reduction theorem......Page 157
17.5 Semimartingales......Page 159
17.6 Exponential of a semimartingale......Page 161
17.7 The Girsanov theorem......Page 162
Exercises......Page 163
18 Poisson point processes......Page 165
Exercises......Page 169
19.1 Introduction......Page 170
19.2 Definition of a Markov process......Page 171
19.3 Transition probabilities......Page 172
19.4 An example......Page 174
Exercises......Page 176
Notes......Page 177
20.1 Enlarging the filtration......Page 178
20.2 The Markov property......Page 180
20.3 Strong Markov property......Page 182
Exercises......Page 184
21.1 Recurrence and transience......Page 185
21.2 Additive functionals......Page 187
21.3 Continuity......Page 188
21.4 Harmonic functions......Page 189
Exercises......Page 194
22.1 Killed processes......Page 195
22.2 Conditioned processes......Page 196
22.3 Time change......Page 198
22.4 Last exit decompositions......Page 199
Exercises......Page 200
Notes......Page 201
23.1 Excessive functions......Page 202
23.2 Solving the optimal stopping problem......Page 205
Exercises......Page 207
Notes......Page 209
24.1 Pathwise solutions of SDEs......Page 210
24.2 One-dimensional SDEs......Page 214
24.3 Examples of SDEs......Page 216
Exercises......Page 219
Notes......Page 220
25 Weak solutions of SDEs......Page 222
Exercises......Page 225
26 The Ray–Knight theorems......Page 227
Exercises......Page 230
Notes......Page 231
27 Brownian excursions......Page 232
Exercises......Page 234
Notes......Page 235
28.1 Finance models......Page 236
28.2 Black–Scholes formula......Page 238
28.3 The fundamental theorem of finance......Page 241
28.4 Stochastic control......Page 244
Exercises......Page 245
29.1 The basic model......Page 247
29.2 The innovation process......Page 248
29.3 Representation of Fz-martingales......Page 249
29.4 The filtering equation......Page 250
29.6 Kalman–Bucy filter......Page 252
Notes......Page 254
30.1 The portmanteau theorem......Page 255
30.2 The Prohorov theorem......Page 257
30.3 Metrics for weak convergence......Page 259
Exercises......Page 260
Notes......Page 261
31 Skorokhod representation......Page 262
Exercises......Page 264
32.1 Tightness......Page 265
32.2 A construction of Brownian motion......Page 266
Exercises......Page 268
33.1 Reproducing kernel Hilbert spaces......Page 269
33.2 Continuous Gaussian processes......Page 272
Exercises......Page 275
34.1 Metrics for D[0,1]......Page 277
34.2 Compactness and completeness......Page 280
34.3 The Aldous criterion......Page 282
Exercises......Page 285
Notes......Page 286
35.1 Donsker invariance principle......Page 287
35.2 Brownian bridge......Page 291
35.3 Empirical processes......Page 293
Exercises......Page 296
36.1 Constructing the process......Page 297
36.2 Examples......Page 301
Notes......Page 303
37.1 Semigroup properties......Page 304
37.2 The Hille–Yosida theorem......Page 310
37.3 Nondivergence form elliptic operators......Page 314
37.4 Generators of Levy processes......Page 315
Exercises......Page 318
38 Dirichlet forms......Page 320
38.1 Framework......Page 321
38.2 Construction of the semigroup......Page 322
38.3 Divergence form elliptic operators......Page 325
Exercises......Page 327
Notes......Page 329
39.1 Markov properties......Page 330
39.2 SDEs and PDEs......Page 332
39.3 Martingale problems......Page 333
Exercises......Page 335
Notes......Page 336
40.1 Poisson's equation......Page 337
40.2 Dirichlet problem......Page 338
40.3 Cauchy problem......Page 339
40.4 Schrodinger operators......Page 341
Exercises......Page 342
Notes......Page 343
41.1 Regularity......Page 344
41.2 Scale functions......Page 345
41.3 Speed measures......Page 347
41.4 The uniqueness theorem......Page 351
41.5 Time change......Page 352
41.6 Examples......Page 354
Exercises......Page 355
Notes......Page 356
42.1 Examples......Page 357
42.2 Construction of Levy processes......Page 358
42.3 Representation of Levy processes......Page 362
Exercises......Page 364
A.1 First notions......Page 366
A.2 Independence......Page 371
A.3 Convergence......Page 373
A.4 Uniform integrability......Page 374
A.5 Conditional expectation......Page 375
A.7 Martingales......Page 377
A.8 Optional stopping......Page 378
A.9 Doob's inequalities......Page 379
A.10 Martingale convergence theorem......Page 380
A.11 Strong law of large numbers......Page 382
A.12 Weak convergence......Page 385
A.13 Characteristic functions......Page 388
A.15 The central limit theorem......Page 390
A.16 Gaussian random variables......Page 392
B.1 The monotone class theorem......Page 396
B.2 The Schwartz class......Page 397
Appendix C Regular conditional probabilities......Page 398
Appendix D Kolmogorov extension theorem......Page 400
References......Page 403
Index......Page 405