Stochastic Partial Differential Equations: An Introduction

این کتاب مقدمه ای بر نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی (SPDEs) از نوع تکاملی ارائه می دهد. SPDE ها یکی از جهت گیری های اصلی تحقیقاتی در نظریه احتمال با چندین کاربرد گسترده هستند. بسیاری از انواع دینامیک با تأثیر تصادفی در طبیعت یا سیستم های پیچیده دست ساز انسان را می توان با چنین معادلاتی مدل کرد. تئوری SPDE ها هم بر اساس نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی قطعی و هم بر تحلیل تصادفی مدرن است.

در حالی که این جلد عمدتاً از «رویکرد متغیر» پیروی می‌کند، همچنین حاوی گزارش کوتاهی درباره «رویکرد نیمه گروهی (یا راه‌حل ملایم)» است. به طور خاص، این جلد شامل ارائه کاملی از وجود اصلی و نتایج منحصر به فرد در مورد ضرایب یکنواخت محلی است. انواع مختلفی از شرایط اجباری تعمیم یافته برای تضمین عدم انفجار نشان داده شده است، اما همچنین یک رویکرد سیستماتیک برای درمان SPDE با انفجار در زمان محدود توسعه یافته است. این تا کنون تنها کتابی است که مورد دوم و «مورد یکنواخت محلی» به صورت مفصل و کامل برای SPDE ارائه شده است. بسط این چارچوب کلی تر برای SPDE ها، برای مثال، در مقایسه با مورد معروف ضرایب یکنواخت جهانی، به طور قابل ملاحظه ای کاربرد نتایج را افزایش می دهد. علاوه بر این، در بسیاری از نمونه‌های کلاسیک به یک رویکرد واحد و اثبات ساده‌شده منجر می‌شود. اینها شامل تعداد زیادی SPDE هستند که تحت پوشش «مورد یکنواخت جهانی» نیستند، مانند مثلاً برگرهای تصادفی یا معادلات تصادفی دوبعدی و سه بعدی ناویر-استوکس، معادلات تصادفی کان-هیلیارد و مدل های رشد سطحی تصادفی. .

برای اینکه کتاب خودکفا بماند و پیش نیازها کم باشد، نتایج لازم در مورد SDEها در ابعاد محدود نیز همراه با اثبات کامل و همچنین فصلی در مورد ادغام تصادفی در فضاهای هیلبرت گنجانده شده است. مبانی دیگری (به عنوان مثال، شرح مفصلی در مورد قضیه یامادا-واتانابه در ابعاد نامتناهی) که در کتاب استفاده شده است، شواهدی را در پیوست اضافه کرده است. این کتاب را می توان به عنوان یک کتاب درسی برای دوره یک ساله تحصیلات تکمیلی استفاده کرد.

This book provides an introduction to the theory of stochastic partial differential equations (SPDEs) of evolutionary type. SPDEs are one of the main research directions in probability theory with several wide ranging applications. Many types of dynamics with stochastic influence in nature or man-made complex systems can be modelled by such equations. The theory of SPDEs is based both on the theory of deterministic partial differential equations, as well as on modern stochastic analysis.

Whilst this volume mainly follows the ‘variational approach’, it also contains a short account on the ‘semigroup (or mild solution) approach’. In particular, the volume contains a complete presentation of the main existence and uniqueness results in the case of locally monotone coefficients. Various types of generalized coercivity conditions are shown to guarantee non-explosion, but also a systematic approach to treat SPDEs with explosion in finite time is developed. It is, so far, the only book where the latter and the ‘locally monotone case’ is presented in a detailed and complete way for SPDEs. The extension to this more general framework for SPDEs, for example, in comparison to the well-known case of globally monotone coefficients, substantially widens the applicability of the results. In addition, it leads to a unified approach and to simplified proofs in many classical examples. These include a large number of SPDEs not covered by the ‘globally monotone case’, such as, for exa

To keep the book self-contained and prerequisites low, necessary results about SDEs in finite dimensions are also included with complete proofs as well as a chapter on stochastic integration on Hilbert spaces. Further fundamentals (for example, a detailed account on the Yamada-Watanabe theorem in infinite dimensions) used in the book have added proofs in the appendix. The book can be used as a textbook for a one-year graduate course.