Stochastic Parameterizing Manifolds and Non-Markovian Reduced Equations: Stochastic Manifolds for Nonlinear SPDEs II

در این جلد دوم، یک رویکرد کلی برای ارائه پارامترهای تقریبی مقیاس‌های \"کوچک\" توسط مقیاس‌های \"بزرگ\" برای کلاس وسیعی از معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی (SPDE) ایجاد شده است. این امر از طریق مفهوم منیفولدهای پارامترسازی (PMs) انجام می‌شود، که منیفولدهای تصادفی هستند که برای درک معین نویز، در میانگین مربعات خطا، دانش جزئی از راه‌حل کامل SPDE را در مقایسه با نمایش آن بر روی برخی حالت‌های حل‌شده بهبود می‌بخشند. سیستم های رو به جلو به گونه ای طراحی شده اند که در عمل به چنین PM ها دسترسی داشته باشند. ایده کلیدی شامل نمایش حالت‌های با اعداد موج بالا به عنوان یک محدودیت عقب‌نشینی بسته به تاریخچه زمانی حالت‌های با اعداد موج کم است. سپس سیستم‌های کاهش‌یافته تصادفی غیرمارکوویی بر اساس چنین رویکرد PM مشتق می‌شوند. سیستم های کاهش یافته به شکل معادلات دیفرانسیل تصادفی شامل ضرایب تصادفی هستند که اثرات حافظه را منتقل می کنند. این نظریه بر روی یک معادله تصادفی نوع برگر نشان داده شده است.

In this second volume, a general approach is developed to provide approximate parameterizations of the "small" scales by the "large" ones for a broad class of stochastic partial differential equations (SPDEs). This is accomplished via the concept of parameterizing manifolds (PMs), which are stochastic manifolds that improve, for a given realization of the noise, in mean square error the partial knowledge of the full SPDE solution when compared to its projection onto some resolved modes. Backward-forward systems are designed to give access to such PMs in practice. The key idea consists of representing the modes with high wave numbers as a pullback limit depending on the time-history of the modes with low wave numbers. Non-Markovian stochastic reduced systems are then derived based on such a PM approach. The reduced systems take the form of stochastic differential equations involving random coefficients that convey memory effects. The theory is illustrated on a stochastic Burgers-type equation.