Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications

حرکت براونی کسری (fBm) به طور گسترده ای برای مدل سازی تعدادی از پدیده ها در زمینه های مختلف از زیست شناسی تا مالی استفاده شده است. این طیف وسیعی از کاربردهای بالقوه، fBm را به یک موضوع مطالعه جالب تبدیل می‌کند.

fBm یک بسط طبیعی یک پارامتری از حرکت براونی کلاسیک را نشان می‌دهد، بنابراین طبیعی است که بپرسیم آیا می‌توان یک حساب تصادفی برای fBm ایجاد کرد یا خیر. این واضح نیست، زیرا fBm نه نیمه مارتینگاله است (به جز زمانی که H = ½)، و نه یک فرآیند مارکوف، بنابراین ماشین آلات ریاضی کلاسیک برای حساب تصادفی در مورد fBm در دسترس نیستند.

رویکردهای متعددی ارائه شده است. برای توسعه مفهوم حساب تصادفی برای fBm استفاده می شود. هدف این کتاب ارائه گزارشی جامع از تعاریف مختلف ادغام تصادفی برای fBm و ارائه کاربردهای تئوری حاصل است. تأکید ویژه ای بر مطالعه روابط بین رویکردهای مختلف است.

فرض می شود که خوانندگان با نظریه احتمال و تحلیل تصادفی آشنا هستند، اگرچه تکنیک های ریاضی مورد استفاده در کتاب به طور کامل در معرض دید قرار گرفته و برخی از پیش نیازهای لازم وجود دارد. مانند نظریه نویز سفید کلاسیک و حساب کسری، در ضمیمه ها یادآوری شده است.

این کتاب مرجع ارزشمندی برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققین در رشته های ریاضی، زیست شناسی، هواشناسی، فیزیک، مهندسی و مالی خواهد بود. جنبه‌های کتاب همچنین در زمینه‌های دیگری که fBm می‌تواند به عنوان مدلی برای برنامه‌ها استفاده شود، مفید خواهد بود.

Fractional Brownian motion (fBm) has been widely used to model a number of phenomena in diverse fields from biology to finance. This huge range of potential applications makes fBm an interesting object of study.

fBm represents a natural one-parameter extension of classical Brownian motion therefore it is natural to ask if a stochastic calculus for fBm can be developed. This is not obvious, since fBm is neither a semimartingale (except when H = ½), nor a Markov process so the classical mathematical machineries for stochastic calculus are not available in the fBm case.

Several approaches have been used to develop the concept of stochastic calculus for fBm. The purpose of this book is to present a comprehensive account of the different definitions of stochastic integration for fBm, and to give applications of the resulting theory. Particular emphasis is placed on studying the relations between the different approaches.

Readers are assumed to be familiar with probability theory and stochastic analysis, although the mathematical techniques used in the book are thoroughly exposed and some of the necessary prerequisites, such as classical white noise theory and fractional calculus, are recalled in the appendices.

This book will be a valuable reference for graduate students and researchers in mathematics, biology, meteorology, physics, engineering and finance. Aspects of the book will also be useful in other fields where fBm can be used as a model for applications.