Spherical Harmonics and Approximations on the Unit Sphere: An Introduction

این یادداشت‌ها مقدمه‌ای بر نظریه هارمونیک‌های کروی در ابعاد دلخواه و همچنین مروری بر نتایج کلاسیک و اخیر در مورد برخی از جنبه‌های تقریب توابع توسط چند جمله‌ای‌های کروی و ادغام عددی بر روی کره واحد ارائه می‌دهند. این یادداشت ها برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی علوم ریاضی و محققینی است که علاقه مند به حل مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل جزئی و انتگرال در کره واحد، به ویژه در کره واحد در فضای اقلیدسی سه بعدی هستند. برخی از کارهای مرتبط برای تقریب روی دیسک واحد در صفحه نیز به اختصار مورد بحث قرار می‌گیرند، که نتایج قابل تعمیم به توپ واحد در ابعاد بیشتر است.

These notes provide an introduction to the theory of spherical harmonics in an arbitrary dimension as well as an overview of classical and recent results on some aspects of the approximation of functions by spherical polynomials and numerical integration over the unit sphere. The notes are intended for graduate students in the mathematical sciences and researchers who are interested in solving problems involving partial differential and integral equations on the unit sphere, especially on the unit sphere in three-dimensional Euclidean space. Some related work for approximation on the unit disk in the plane is also briefly discussed, with results being generalizable to the unit ball in more dimensions.