Spectral Theory of Ordinary Differential Operators

این یادداشت‌ها برای ریاضیدانان و فیزیکدانان فعال در تحقیقات و همچنین برای دانش‌آموزانی که اطلاعاتی در مورد نظریه انتزاعی عملگرها در فضاهای هیلبرت دارند مفید و جالب خواهد بود. آنها یک نظریه طیفی کامل را برای عبارت‌های دیفرانسیل معمولی از نظم دلخواه n ارائه می‌دهند که بر روی توابع دارای ارزش عمل می‌کنند و از طریق شرایط مرزی، تعیین و مطالعه ویژگی‌های کلی حلال، نمایش طیفی و تفکیک طیفی، تحقق‌های خود الحاقی را ایجاد می‌کنند. توجه ویژه ای به مسئله شرایط مرزی جدا شده، تعدد طیفی و طیف کاملاً پیوسته می شود. برای مورد nm=2 (اپراتورهای Sturm-Liouville و سیستم های دیراک) نظریه کلاسیک Weyl-Titchmarch گنجانده شده است. نظریه نوسان برای اپراتورهای Sturm-Liouville و سیستم های دیراک توسعه یافته و برای مطالعه طیف ضروری و کاملاً پیوسته استفاده می شود. نتایج با حل صریح تعدادی از مسائل خاص از جمله نظریه طیفی یکی از عملگرهای شرودینگر جزئی و دیراک با پتانسیل های کروی متقارن نشان داده شده است. روش‌های اثبات هرجا که ممکن است از نظر عملکردی تحلیلی هستند.

These notes will be useful and of interest to mathematicians and physicists active in research as well as for students with some knowledge of the abstract theory of operators in Hilbert spaces. They give a complete spectral theory for ordinary differential expressions of arbitrary order n operating on -valued functions existence and construction of self-adjoint realizations via boundary conditions, determination and study of general properties of the resolvent, spectral representation and spectral resolution. Special attention is paid to the question of separated boundary conditions, spectral multiplicity and absolutely continuous spectrum. For the case nm=2 (Sturm-Liouville operators and Dirac systems) the classical theory of Weyl-Titchmarch is included. Oscillation theory for Sturm-Liouville operators and Dirac systems is developed and applied to the study of the essential and absolutely continuous spectrum. The results are illustrated by the explicit solution of a number of particular problems including the spectral theory one partical Schrödinger and Dirac operators with spherically symmetric potentials. The methods of proof are functionally analytic wherever possible.