Compact convex sets and boundary integrals

اهمیت استدلال‌های محدب در تحلیل عملکردی مدت‌هاست که درک شده است، اما یک نظریه جامع از مجموعه‌های محدب بی‌بعدی به سختی برای بیش از یک دهه وجود داشته است. در واقع، قضایای بازنمایی انتگرالی Choquet و Bishop-de Leeuw همراه با قضیه منحصر به فرد بودن Choquet، عصر جدیدی را در تحدب بی‌بعدی آغاز کردند. این قضایا که در ابتدا کنجکاو و از نظر فنی دشوار تلقی می شدند، بسیاری از ریاضیدانان را به خود جذب کردند و اثبات ها به تدریج ساده شدند و در یک نظریه کلی قرار گرفتند. نتایج را دیگر نمی توان خیلی «عمیق» یا دشوار در نظر گرفت، اما مطمئناً اهمیت بیشتری دارند. امروزه نظریه Choquet یک رویکرد واحد برای بازنمایی های انتگرال در زمینه های متنوعی مانند نظریه پتانسیل، احتمال، جبر تابع، نظریه عملگر، بازنمایی گروه و نظریه ارگودیک ارائه می دهد. در عين حال مفاهيم و نتايج جديد اين امكان را فراهم كرده است كه بتوان سوالات جديدي را در درون خود نظريه انتزاعي مطرح كرد. چنین سوالاتی به تعامل بین مجموعه های محدب فشرده K و فضاهای مرتبط با آنها A(K) از توابع پیوسته وابسته است. به دوگانگی بین چهره های K و آرمان های مناسب A(K)؛ به مشکلات گسترش غالب برای توابع پیوسته پیوسته روی چهره ها. و هدایت تجزیه مجموع محدب به صورت، و همچنین به انتگرال برای ملاها تعمیم چنین تجزیه. این مسائل به خودی خود دارای اهمیت هندسی هستند، اما در درجه اول توسط کاربردها، به ویژه در نظریه عملگرها و جبرهای تابع، پیشنهاد می شوند.

The importance of convexity arguments in functional analysis has long been realized, but a comprehensive theory of infinite-dimensional convex sets has hardly existed for more than a decade. In fact, the integral representation theorems of Choquet and Bishop -de Leeuw together with the uniqueness theorem of Choquet inaugurated a new epoch in infinite-dimensional convexity. Initially considered curious and tech­ nically difficult, these theorems attracted many mathematicians, and the proofs were gradually simplified and fitted into a general theory. The results can no longer be considered very "deep" or difficult, but they certainly remain all the more important. Today Choquet Theory provides a unified approach to integral representations in fields as diverse as potential theory, probability, function algebras, operator theory, group representations and ergodic theory. At the same time the new concepts and results have made it possible, and relevant, to ask new questions within the abstract theory itself. Such questions pertain to the interplay between compact convex sets K and their associated spaces A(K) of continuous affine functions; to the duality between faces of K and appropriate ideals of A(K); to dominated­ extension problems for continuous affine functions on faces; and to direct convex sum decomposition into faces, as well as to integral for­ mulas generalizing such decompositions. These problems are of geometric interest in their own right, but they are primarily suggested by applica­ tions, in particular to operator theory and function algebras.