Spectral Theory of Canonical Differential Systems. Method of Operator Identities

نظریه طیفی عملگرهای دیفرانسیل معمولی L و معادلات (0.1) Ly= AY مرتبط با چنین عملگرهایی نقش مهمی در تعدادی از مسائل هم در فیزیک و هم در ریاضیات بازی می‌کند. اجازه دهید چند مثال از عملگرها و معادلات دیفرانسیل ارائه دهیم که نظریه طیفی آنها به خوبی توسعه یافته است. مثال 1. عملگر Sturm-Liouville دارای شکل (نگاه کنید به [6]) 2 d y (0.2) Ly = - dx + u(x)y = Ay است. 2 در مکانیک کوانتومی عملگر استورم-لیویل L به عنوان عملگر شرودینگر تک بعدی شناخته می شود. رفتار یک ذره کوانتومی بر اساس ویژگی های طیفی عملگر L توصیف می شود. مثال 2. ارتعاشات یک رشته ناهمگن با معادله (به [59] مراجعه کنید) p(x) ~ o توصیف می شود. (0.3) اولین نتایج مرتبط با معادله (0.3) توسط D. Bernoulli و L. Euler به دست آمد. بررسی این معادله و تعمیم های مختلف آن همچنان یک زمینه بسیار فعال است (به عنوان مثال، [18]، [19] را ببینید). نظریه طیفی معادله (0.3) نیز کاربردهای مهمی در نظریه احتمال پیدا کرده است [20]. مثال 3. سیستم های نوع دیراک به شکل (0.4) } که در آن a(x) = a(x)، b(x) = b(x)، نیز به خوبی مطالعه شده اند. در میان آثار اختصاص داده شده به نظریه طیفی سیستم (0.4) مقاله معروف M. G. Kerin [48] شایسته ذکر ویژه است.

The spectral theory of ordinary differential operators L and of the equations (0.1) Ly= AY connected with such operators plays an important role in a number of problems both in physics and in mathematics. Let us give some examples of differential operators and equations, the spectral theory of which is well developed. Example 1. The Sturm-Liouville operator has the form (see [6]) 2 d y (0.2) Ly = - dx + u(x)y = Ay. 2 In quantum mechanics the Sturm-Liouville operator L is known as the one-dimen­ sional Schrodinger operator. The behaviour of a quantum particle is described in terms of spectral characteristics of the operator L. Example 2. The vibrations of a nonhomogeneous string are described by the equa­ tion (see [59]) p(x) ~ o. (0.3) The first results connected with equation (0.3) were obtained by D. Bernoulli and L. Euler. The investigation of this equation and of its various generalizations continues to be a very active field (see, e.g., [18], [19]). The spectral theory of the equation (0.3) has also found important applications in probability theory [20]. Example 3. Dirac-type systems of the form (0.4) } where a(x) = a(x), b(x) = b(x), are also well studied. Among the works devoted to the spectral theory of the system (0.4) the well-known article of M. G. KreIn [48] deserves special mention.