Spectral Analysis on Graph-like Spaces

ساختارهای لوله‌ای با شعاع کوچک در چند سال اخیر توجه قابل توجهی را به خود جلب کرده‌اند و اغلب در زمینه‌های مختلف مانند فیزیک ریاضی، هندسه طیفی و تحلیل جهانی استفاده می‌شوند. در این مونوگراف، ما عملگرهای لاپلاس مانند را بر روی ساختارهای لوله‌ای نازک ("فضاهای گراف مانند") و محدودیت‌های طبیعی آنها در نمودارهای متریک تجزیه و تحلیل می‌کنیم. به‌ویژه، هم‌گرایی حلال هنجار، هم‌گرایی طیف‌ها و رزونانس‌ها را بررسی می‌کنیم. فضاهای زیرین در محدوده شعاع نازک تغییر می کنند و در حد منحصر به فرد می شوند، ابزارهای جدیدی مانند همگرایی هنجار عملگرهایی که در فضاهای هیلبرت مختلف عمل می کنند، توسعه مفهوم سه گانه مرزی به عملگرهای دیفرانسیل جزئی و یک تعریف انتزاعی توسعه می دهیم. این ابزارها در یک چارچوب انتزاعی، مستقل از مسئله اصلی فضاهای نمودار مانند، فرموله شده اند، به طوری که می توان آنها را در بسیاری از موقعیت های دیگر که فضاها آشفته هستند، به کار برد.

Small-radius tubular structures have attracted considerable attention in the last few years, and are frequently used in different areas such as Mathematical Physics, Spectral Geometry and Global Analysis. In this monograph, we analyse Laplace-like operators on thin tubular structures ("graph-like spaces''), and their natural limits on metric graphs. In particular, we explore norm resolvent convergence, convergence of the spectra and resonances. Since the underlying spaces in the thin radius limit change, and become singular in the limit, we develop new tools such as norm convergence of operators acting in different Hilbert spaces, an extension of the concept of boundary triples to partial differential operators, and an abstract definition of resonances via boundary triples. These tools are formulated in an abstract framework, independent of the original problem of graph-like spaces, so that they can be applied in many other situations where the spaces are perturbed.