Spatial Patterns: Higher Order Models in Physics and Mechanics

مطالعه الگوهای فضایی در سیستم‌های توسعه‌یافته، و تکامل آن‌ها با زمان، سؤالات چالش برانگیزی را برای فیزیکدانان و ریاضیدانان ایجاد می‌کند. امواج روی آب، پالس‌ها در فیبرهای نوری، ساختارهای دوره‌ای در آلیاژها، چین‌خوردگی‌ها در صخره‌ها و الگوهای ابر در آسمان: الگوها در دنیای اطراف ما همه‌جا حضور دارند. تنوع و پیچیدگی آنها آنها را به منطقه ای غنی از مطالعه تبدیل می کند. در مطالعه این پدیده ها، معادلات مدل به خوبی انتخاب شده نقش مهمی ایفا می کنند، که اغلب ساده تر از معادلات کامل توصیف کننده سیستم فیزیکی یا بیولوژیکی هستند، اما همچنان ویژگی های اساسی آن را در بر می گیرند. از طریق تجزیه و تحلیل کامل این معادلات مدل، فرد امیدوار است که درک بهتری از مکانیسم‌های اساسی که مسئول شکل‌گیری و تکامل الگوهای پیچیده هستند، به دست آید. معادلات مدل کلاسیک معمولاً معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم هستند. به عنوان مثال، معادله فیشر-کلموگروف یا آلن-کان را که به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفت، ذکر می کنیم، که در ابتدا در سال 1937 به عنوان مدلی برای تعامل پراکندگی و تناسب در جمعیت های بیولوژیکی پیشنهاد شد. به عنوان مثالی دیگر، معادله برگرز را ذکر می کنیم که در سال 1939 برای مطالعه برهمکنش انتشار و همرفت غیرخطی در تلاش برای درک پدیده تلاطم پیشنهاد شد. هر دوی این معادلات انتشار مرتبه دوم غیرخطی هستند.

The study of spatial patterns in extended systems, and their evolution with time, poses challenging questions for physicists and mathematicians alike. Waves on water, pulses in optical fibers, periodic structures in alloys, folds in rock formations, and cloud patterns in the sky: patterns are omnipresent in the world around us. Their variety and complexity make them a rich area of study. In the study of these phenomena an important role is played by well-chosen model equations, which are often simpler than the full equations describing the physical or biological system, but still capture its essential features. Through a thorough analysis of these model equations one hopes to glean a better under­ standing of the underlying mechanisms that are responsible for the formation and evolution of complex patterns. Classical model equations have typically been second-order partial differential equations. As an example we mention the widely studied Fisher-Kolmogorov or Allen-Cahn equation, originally proposed in 1937 as a model for the interaction of dispersal and fitness in biological populations. As another example we mention the Burgers equation, proposed in 1939 to study the interaction of diffusion and nonlinear convection in an attempt to understand the phenomenon of turbulence. Both of these are nonlinear second-order diffusion equations.