Smallpox: When Should Routine Vaccination Be Discontinued?

مواد مورد بحث در این مونوگراف باید برای دانش‌آموختگان سطح بالاتر در رشته‌های علوم ریاضی قابل دسترسی باشد. پیش نیازهای رسمی شامل یک مقدمه کامل برای حساب دیفرانسیل و انتگرال و یک ترم احتمال است. اگرچه از معادلات دیفرانسیل استفاده می شود، اما همگی معادلات دیفرانسیل خطی، ضریب ثابت و معمولی هستند که یا با جداسازی متغیرها یا با معرفی یک عامل یکپارچه حل می شوند. این تکنیک ها را می توان در چند دقیقه به دانش آموزانی که حساب دیفرانسیل و انتگرال خوانده اند آموزش داد. مدل‌های توسعه‌یافته برای توصیف شیوع همه‌گیری آبله، فرآیندهای تصادفی استاندارد (تولد-مرگ، راه رفتن تصادفی و فرآیندهای شاخه‌شدن) هستند. در حالی که برای دانش آموزان مفید است که این موارد را قبل از معرفی آنها در این تک نگاری دیده باشند، مطمئناً ضروری نیست. فرآیندهای تصادفی از اصول اولیه توسعه یافته و سپس با استفاده از تکنیک های ابتدایی حل می شوند. از آنجایی که همه آنچه ضروری است، مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی است، توصیف‌های معادله تفاضلی-تفاوت فرآیندهای تصادفی قبل از حل به معادلات دیفرانسیل معمولی کاهش می‌یابد. دانش‌آموزانی که فرآیندهای تصادفی را مطالعه کرده‌اند، عموماً از این که می‌آموزند فرمول‌های متفاوتی برای مجموعه‌ای از شرایط یکسان امکان‌پذیر است، خرسند هستند. انتخاب اینکه کدام فرمول به کار گرفته شود بستگی به چیزی دارد که فرد مایل به محاسبه است. به طور خاص، در بخش 6 یک فرآیند تولد-مرگ با یک پیاده روی تصادفی جایگزین می شود و در بخش 7 یک مشکل هم به عنوان یک فرآیند چند تولد-مرگ و هم به عنوان یک فرآیند انشعاب فرموله می شود.

The material discussed in this monograph should be accessible to upper level undergraduates in the mathemati­ cal sciences. Formal prerequisites include a solid intro­ duction to calculus and one semester of probability. Although differential equations are employed, these are all linear, constant coefficient, ordinary differential equa­ tions which are solved either by separation of variables or by introduction of an integrating factor. These techniques can be taught in a few minutes to students who have studied calculus. The models developed to describe an epidemic outbreak of smallpox are standard stochastic processes (birth-death, random walk and branching processes). While it would be helpful for students to have seen these prior to their introduction in this monograph, it is certainly not necessary. The stochastic processes are developed from first principles and then solved using elementary tech­ niques. Since all that turns out to be necessary are ex­ pected values of random variables, the differential-differ­ ence equatlon descriptions of the stochastic processes are reduced to ordinary differential equations before being solved. Students who have studied stochastic processes are generally pleased to learn that different formulations are possible for the same set of conditions. The choice of which formulation to employ depends upon what one wishes to calculate. Specifically, in Section 6 a birth-death pro­ cess is replaced by a random walk and in Section 7 a prob­ lem is formulated both as a multi-birth-death process and as a branching process.