Skript zur Algebra

Gruppenaxiome......Page 6
Untergruppen......Page 7
Die Untergruppen von `39`42`"613A``45`47`"603AZ, Teilbarkeit in `39`42`"613A``45`47`"603AZ......Page 9
Die Ordnung eines Gruppenelements......Page 11
Äquivalenzrelationen......Page 12
Operationen von Gruppen auf Mengen......Page 13
Der Satz von Lagrange......Page 14
Konjugation......Page 16
Homomorphismen, Normalteiler......Page 18
Beispiele, Bemerkungen......Page 19
Faktorgruppen......Page 20
Die Isomorphiesätze......Page 21
Zyklische Gruppen......Page 23
`39`42`"613A``45`47`"603AZ/`39`42`"613A``45`47`"603AZa als Ring, prime Restklassen......Page 24
Direkte Produkte......Page 28
Der Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen......Page 29
Semidirekte Produkte......Page 32
Zykelzerlegung von Permutationen......Page 34
Beispiele......Page 36
Die Einfachheit von An, n5......Page 37
Beweis der Sätze, Folgerungen......Page 38
Anwendungen......Page 41
Nilpotente Gruppen......Page 43
Ringe, Unterringe, Ideale......Page 47
Ringhomomorphismen......Page 49
Faktorringe......Page 50
Polynomalgebren......Page 51
Monoidalgebren, Polynomalgebren......Page 52
Division mit Rest in R[X]......Page 54
Definition und Beispiele......Page 56
Euklidische Ringe......Page 57
Konstruktion des Quotientenrings......Page 58
Primkörper, Charakteristik......Page 61
Maximale Ideale......Page 62
Primideale......Page 63
Kettenbedingungen......Page 65
Teilbarkeit, irreduzible Elemente......Page 66
Primelemente......Page 67
Faktorielle Ringe......Page 68
Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler......Page 69
Primfaktorzerlegung im Quotientenkörper `39`42`"613A``45`47`"603AFrac(R)......Page 71
Faktorielle Polynomringe......Page 72
Irreduzibilitätskriterien......Page 74
Der chinesische Restsatz......Page 76
Endliche Körpererweiterungen......Page 79
Algebraische Elemente und Erweiterungen......Page 80
Der algebraische Abschluß eines Körpers in einem Oberkörper......Page 82
Adjunktion von Nullstellen ohne Oberkörper......Page 83
Fortsetzung von Homomorphismen......Page 84
Der Zerfällungskörper eines Polynoms......Page 85
Normale Erweiterungen......Page 87
Die Anzahl der Einbettungen......Page 88
Separable Erweiterungen......Page 90
Der Satz vom primitiven Element......Page 92
Kriterien für die Separabilität von Polynomen......Page 93
Endliche Körper......Page 95
Definition......Page 96
Der Zugang nach Dedekind und Artin......Page 97
Erste Beispiele......Page 99
Der Hauptsatz der Galoistheorie......Page 100
Einheitswurzeln......Page 103
Zerfällungskörper von Xn-a......Page 104
Kreisteilungspolynome......Page 105
Verhalten der Kreisteilungspolynome über endlichen Körpern......Page 107
Die Galoisgruppe von Polynomen vom Grad 3 und 4......Page 108
Endliche abelsche Gruppen als Galoisgruppen über `39`42`"613A``45`47`"603AQ......Page 111
Das allgemeine Polynom n-ten Grades......Page 112
Auflösbare Gruppen......Page 114
Zyklische Galoiserweiterungen......Page 117
Durch Radikale auflösbare Erweiterungen......Page 119
Beispiele......Page 124
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal......Page 125
Basen in Algebren......Page 129
Der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome......Page 130
Beispiele......Page 133
Literaturverzeichnis......Page 135