Singularities and Groups in Bifurcation Theory: Volume I

این کتاب با روحیه ای صراحتاً حزبی نوشته شده است - ما معتقدیم که نظریه تکینگی رویکرد بسیار مفیدی برای مسائل دو شاخه شدن ارائه می دهد و امیدواریم که خواننده را به این دیدگاه تبدیل کنیم. در این پیشگفتار، نقاط قوت رویکرد نظریه تکینگی را مورد بحث قرار خواهیم داد. این بحث سپس به طور طبیعی به بحث در مورد مطالب کتاب و پیش نیازهای خواندن آن می انجامد. اجازه دهید تاکید کنیم که سهم اصلی ما در این زمینه به کارگیری تکنیک‌های از پیش موجود از نظریه تکینگی، به‌ویژه نظریه آشکارسازی و نظریه طبقه‌بندی، به مسائل انشعاب بوده است. بسیاری از ایده‌های این بخش از نظریه تکینگی در اصل توسط رنه تام ارائه شد. سپس این موضوع توسط جان ماتراند به طور جدی توسعه یافت و توسط V. I. Arnold گسترش یافت. در به کار بردن این مطالب برای مسائل انشعاب، ما بسیار تشویق شدیم که چگونه ایده های ریاضی نظریه تکینگی با سؤالات مطرح شده توسط نظریه انشعاب در هم آمیخته است. در مورد عنوان ما، تکینگی ها و گروه ها در نظریه انشعاب، لازم به ذکر است که متن حاضر جلد اول در یک دنباله دو جلدی است. در این مجلد تاکید ما بر نظریه تکینگی است و نظریه گروهی نقشی فرعی دارد. در جلد دوم تأکید بیشتر خواهد بود. پس از بیان این اظهارات، زمینه را برای بحث در مورد نقاط قوت رویکرد نظریه تکینگی به انشعاب قرار دادیم. همانطور که ما از این اصطلاح استفاده می کنیم، نظریه انشعاب مطالعه معادلات با راه حل های متعدد است.

This book has been written in a frankly partisian spirit-we believe that singularity theory offers an extremely useful approach to bifurcation prob­ lems and we hope to convert the reader to this view. In this preface we will discuss what we feel are the strengths of the singularity theory approach. This discussion then Ieads naturally into a discussion of the contents of the book and the prerequisites for reading it. Let us emphasize that our principal contribution in this area has been to apply pre-existing techniques from singularity theory, especially unfolding theory and classification theory, to bifurcation problems. Many ofthe ideas in this part of singularity theory were originally proposed by Rene Thom; the subject was then developed rigorously by John Matherand extended by V. I. Arnold. In applying this material to bifurcation problems, we were greatly encouraged by how weil the mathematical ideas of singularity theory meshed with the questions addressed by bifurcation theory. Concerning our title, Singularities and Groups in Bifurcation Theory, it should be mentioned that the present text is the first volume in a two-volume sequence. In this volume our emphasis is on singularity theory, with group theory playing a subordinate role. In Volume II the emphasis will be more balanced. Having made these remarks, Iet us set the context for the discussion of the strengths of the singularity theory approach to bifurcation. As we use the term, bifurcation theory is the study of equations with multiple solutions.