Simplicial Algorithms on the Simplotope

1.1. مقدمه حل سیستم های معادلات غیرخطی از دیرباز مورد توجه محققان در زمینه اقتصاد، ریاضیات، مهندسی و بسیاری از حرفه های دیگر بوده است. بسیاری از مسائل مانند یافتن یک تعادل، یک نقطه صفر یا یک نقطه ثابت را می توان به عنوان مسئله یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات غیر خطی فرموله کرد. روش های زیادی برای حل سیستم غیرخطی مانند روش نیوتن، روش هموتوپی و روش ساده وجود دارد. در این مونوگراف ما عمدتاً روش ساده را در نظر می گیریم. به طور سنتی، مسئله نقطه صفر و نقطه ثابت با روش های تکراری مانند روش نیوتن و اصلاحات آن حل می شود. از جمله مشکلاتی که ممکن است باعث شود یک روش تکراری به طور ناکارآمد یا حتی شکست بخورد عبارتند از: فقدان نقاط شروع خوب، همگرایی کند و عدم روان بودن عملکرد زیربنایی. این مشکلات تا حدی با معرفی روش‌های هومو تاپی برطرف شده است.

1.1. Introduction Solving systems of nonlinear equations has since long been of great interest to researchers in the field of economics, mathematics, en­ gineering, and many other professions. Many problems such as finding an equilibrium, a zero point, or a fixed point, can be formulated as the problem of finding a solution to a system of nonlinear equations. There are many methods to solve the nonlinear system such as Newton's method, the homotopy method, and the simplicial method. In this monograph we mainly consider the simplicial method. Traditionally, the zero point and fixed point problem have been solved by iterative methods such as Newton's method and modifications thereof. Among the difficulties which may cause an iterative method to perform inefficiently or even fail are: the lack of good starting points, slow convergence, and the lack of smoothness of the underlying function. These difficulties have been partly overcome by the introduction of homo­ topy methods.