Several Complex Variables II: Function Theory in Classical Domains Complex Potential Theory

توابع چندگانه ساب هارمونیک نقش عمده ای در تئوری توابع چندین متغیر پیچیده ایفا می کنند. گستردگی توابع چندگانه ساب هارمونیک، سادگی تعریف آنها همراه با غنای خواص آنها و. مهمتر از همه، ارتباط نزدیک آنها با توابع هولومورفیک، به توابع پرهیجانی جایگاه ماندگاری در تحلیل پیچیده چند بعدی را تضمین کرده است. توابع زیرهارمونیک (Pluri) اولین بار در آثار هارتوگ در آغاز قرن ظهور کردند. آنها به شکلی اساسی، به عنوان مثال، در اثبات قضیه معروف هارتوگ (1906) در مورد هولومورفیکیت مشترک، نقش دارند. کلاس توابع ساب هارمونیک که در ابتدا در IC سطح پیچیده تعریف شد، پس از آن به یکی از اساسی ترین ابزارها در بررسی توابع تحلیلی یک یا چند متغیر تبدیل شد. تئوری توابع ساب هارمونیک در جهات مختلف توسعه و تعمیم داده شد: توابع ساب هارمونیک در فضای اقلیدسی IRn، توابع پراکنده در فضای پیچیده en و موارد دیگر. توابع ساب هارمونیک و مبانی تئوری پتانسیل کلاسیک مرتبط به اندازه کافی به خوبی در ادبیات نمایش داده شده است، و بنابراین ما در اینجا تنها چند نتیجه اساسی را معرفی می کنیم که به آنها نیاز داریم. شرح های دقیق تر را می توان در تک نگاری های Privalov (1937)، Brelot (1961) و Landkof (1966) یافت. همچنین نگاه کنید به Brelot (1972)، که در آن تاریخچه ای از توسعه نظریه توابع ساب هارمونیک ارائه شده است.

Plurisubharmonic functions playa major role in the theory of functions of several complex variables. The extensiveness of plurisubharmonic functions, the simplicity of their definition together with the richness of their properties and. most importantly, their close connection with holomorphic functions have assured plurisubharmonic functions a lasting place in multidimensional complex analysis. (Pluri)subharmonic functions first made their appearance in the works of Hartogs at the beginning of the century. They figure in an essential way, for example, in the proof of the famous theorem of Hartogs (1906) on joint holomorphicity. Defined at first on the complex plane IC, the class of subharmonic functions became thereafter one of the most fundamental tools in the investigation of analytic functions of one or several variables. The theory of subharmonic functions was developed and generalized in various directions: subharmonic functions in Euclidean space IRn, plurisubharmonic functions in complex space en and others. Subharmonic functions and the foundations ofthe associated classical poten­ tial theory are sufficiently well exposed in the literature, and so we introduce here only a few fundamental results which we require. More detailed expositions can be found in the monographs of Privalov (1937), Brelot (1961), and Landkof (1966). See also Brelot (1972), where a history of the development of the theory of subharmonic functions is given.