Semigroups, Boundary Value Problems and Markov Processes

هدف این کتاب ارائه گزارشی دقیق و قابل دسترس در امتداد خطوط مدرن موضوعی است که عنوان به آن می پردازد، و همچنین می توان در مورد مسائل مورد علاقه فعلی در این زمینه بحث کرد. برخلاف بسیاری از کتاب‌های دیگر در مورد فرآیندهای مارکوف، این کتاب بر رابطه بین فرآیندهای مارکوف و مسائل ارزش مرزی بیضوی با تأکید بر مطالعه نیمه گروه‌های تحلیلی تمرکز دارد. به طور دقیق‌تر، این کتاب به رویکرد تحلیلی عملکردی به کلاسی از مسائل ارزش مرزی منحط برای عملگرهای انتگرال دیفرانسیل بیضوی مرتبه دوم، به نام عملگرهای والدنفلز، اختصاص داده شده است، که به عنوان موارد خاص مشکلات دیریکله و رابین را شامل می‌شود. ما ثابت می کنیم که این کلاس از مسائل ارزش مرزی نمونه جدیدی از گروه های نیمه تحلیلی را هم در توپولوژی LP و هم در توپولوژی همگرایی یکنواخت ارائه می دهد. به عنوان یک برنامه کاربردی، ما یک فرآیند مارکوف قوی مطابق با چنین پدیده فیزیکی ایجاد می کنیم که یک ذره مارکوفی هم با جهش و هم به طور مداوم در فضای حالت حرکت می کند تا زمانی که در زمانی که به مجموعه ای می رسد که ذره قطعاً در آن قرار دارد \"مرده\" می شود. جذب شده است. رویکرد در اینجا با استفاده گسترده از تکنیک های مشخصه پیشرفت های اخیر در نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی متمایز می شود. تکنیک اصلی مورد استفاده، محاسبه عملگرهای شبه دیفرانسیل است که ممکن است به عنوان یک نظریه مدرن پتانسیل در نظر گرفته شود.

The purpose of this book is to provide a careful and accessible account along modern lines of the subject wh ich the title deals, as weIl as to discuss prob­ lems of current interest in the field. Unlike many other books on Markov processes, this book focuses on the relationship between Markov processes and elliptic boundary value problems, with emphasis on the study of analytic semigroups. More precisely, this book is devoted to the functional analytic approach to a class of degenerate boundary value problems for second-order elliptic integro-differential operators, called Waldenfels operators, whi:h in­ cludes as particular cases the Dirichlet and Robin problems. We prove that this class of boundary value problems provides a new example of analytic semi­ groups both in the LP topology and in the topology of uniform convergence. As an application, we construct a strong Markov process corresponding to such a physical phenomenon that a Markovian particle moves both by jumps and continuously in the state space until it "dies" at the time when it reaches the set where the particle is definitely absorbed. The approach here is distinguished by the extensive use of the techniques characteristic of recent developments in the theory of partial differential equa­ tions. The main technique used is the calculus of pseudo-differential operators which may be considered as a modern theory of potentials.