Semi-Markov Random Evolutions

تکامل سیستم‌ها در رسانه‌های تصادفی یک زمینه گسترده و پربار برای کاربرد روش‌ها و نظریه‌های مختلف ریاضی است. این تکامل را می توان با ویژگی نیمه گروهی مشخص کرد. در شکل انتزاعی، این ویژگی توسط یک نیمه گروه از عملگرها در فضای بردار هنجار (باناخ) داده می شود. در تنوع عملا بی حد و حصر از مدل‌های ریاضی سیستم‌های تکاملی، ما تکامل‌های تصادفی نیمه مارکوف را به عنوان موضوع مورد توجه خود انتخاب کرده‌ایم. تعریف تحولات این نوع بر اساس فرضیات اولیه نسبتاً ساده است. محیط تصادفی با فرآیندهای تجدید مارکوف یا فرآیندهای نیمه مارکوف توصیف می شود. ویژگی های محلی سیستم به وضعیت محیط تصادفی بستگی دارد. در عین حال، تکامل سیستم تأثیری بر رسانه ندارد. از این رو، تحولات تصادفی نیمه مارکوف توسط دو فرآیند توصیف می‌شوند، یعنی توسط فرآیند تجدید سوئیچینگ مارکوف، که تغییرات وضعیت محیط تصادفی خارجی را توصیف می‌کند، و با فرآیند سوئیچ‌شده، یعنی توسط نیمه‌گروه اپراتورها. تکامل سیستم را در محیط تصادفی نیمه مارکوف توصیف می کند.

The evolution of systems in random media is a broad and fruitful field for the applica­ tions of different mathematical methods and theories. This evolution can be character­ ized by a semigroup property. In the abstract form, this property is given by a semigroup of operators in a normed vector (Banach) space. In the practically boundless variety of mathematical models of the evolutionary systems, we have chosen the semi-Markov ran­ dom evolutions as an object of our consideration. The definition of the evolutions of this type is based on rather simple initial assumptions. The random medium is described by the Markov renewal processes or by the semi­ Markov processes. The local characteristics of the system depend on the state of the ran­ dom medium. At the same time, the evolution of the system does not affect the medium. Hence, the semi-Markov random evolutions are described by two processes, namely, by the switching Markov renewal process, which describes the changes of the state of the external random medium, and by the switched process, i.e., by the semigroup of oper­ ators describing the evolution of the system in the semi-Markov random medium.