Selected Works of Donald L. Burkholder

این کتاب به بررسی سی و پنج ساله دونالد بورکهولدر در مورد مارتینگال و پیامدهای آن می پردازد. برخی از نکات برجسته در اینجا وجود دارد. کار پیشگام بورکهولدر و دونالد آستین بر روی تابع مربع مارتینگل زمان گسسته منجر به اثبات نابرابری‌های بورکهولدر و ریچارد گاندی شد که تغییرات درجه دوم و حداکثر توابع مارتینگل‌های پیوسته را مقایسه می‌کنند، نابرابری‌هایی که اکنون ابزارهای ضروری برای تحلیل تصادفی هستند. بخشی از اثبات آنها نشان داد که چگونه نابرابری های توزیعی جدید بین تابع حداکثر و تغییرات درجه دوم منجر به نابرابری برای انتگرال های معینی از توابع این عملگرها می شود. استدلال مورد استفاده در اثبات آنها به طور گسترده اعمال می شود و اکنون روش لامبدا خوب Burkholder-Gundy نامیده می شود. این تکنیک بدون پیچیدگی و در عین حال بسیار ظریف، که تصادفی را شامل نمی شود، در بسیاری از بخش های ریاضیات مهم شده است. سپس از نابرابری‌های مارتینگل پیوسته بورکهولدر، گاندی و سیلورستاین برای اثبات عکس قضیه قدیمی و مشهور هاردی و لیتل‌وود استفاده کردند. این مقاله نظریه فضاهای هاردی توابع تحلیلی را در دیسک واحد تغییر داد و نتایج کلاسیک Marcinkiewicz در مورد هنجارهای توابع مزدوج و تبدیل هیلبرت را گسترش داد و تکمیل کرد. در حالی که قبلاً برخی از ارتباطات بین احتمال و توابع تحلیلی و هارمونیک شناخته شده بود، این مقاله واحد بسیاری از تحلیلگران را متقاعد کرد تا احتمالات را بیاموزند. این مقالات همراه با مطالعه Burkholder در مورد تبدیل مارتینگل منجر به پیشرفت های عمده در فضاهای Banach شد. شرایط هندسی ساده ای که بورکهولدر داده بود توسط بورکولدر، تری مک کانل و ژان بورگین نشان داده شد تا فضاهای باناخ را مشخص کند که آنالوگ تبدیل هیلبرت ویژگی های مهم تبدیل هیلبرت کلاسیک را حفظ می کند. تکنیک‌های دخیل در جستجوی موفقیت‌آمیز بورکلدر برای بهترین ثابت‌ها در نابرابری‌های مارتینگل، در تحقیقات گسترده اخیر در مورد دو مسئله باز شناخته شده، که یکی شامل تبدیل هیلبرت دو بعدی و ارتباط آن با نگاشت‌های شبه هم‌شکل است و دیگری حدسی در محاسبه تغییرات مربوط به توابع محدب و شبه محدب رتبه یک. این کتاب شامل چاپ مجدد بسیاری از مقالات بورکلدر، همراه با دو تفسیر در مورد کار او و تأثیر مستمر آن است.

This book chronicles Donald Burkholder's thirty-five year study of martingales and its consequences. Here are some of the highlights. Pioneering work by Burkholder and Donald Austin on the discrete time martingale square function led to Burkholder and Richard Gundy's proof of inequalities comparing the quadratic variations and maximal functions of continuous martingales, inequalities which are now indispensable tools for stochastic analysis. Part of their proof showed how novel distributional inequalities between the maximal function and quadratic variation lead to inequalities for certain integrals of functions of these operators. The argument used in their proof applies widely and is now called the Burkholder-Gundy good lambda method. This uncomplicated and yet extremely elegant technique, which does not involve randomness, has become important in many parts of mathematics. The continuous martingale inequalities were then used by Burkholder, Gundy, and Silverstein to prove the converse of an old and celebrated theorem of Hardy and Littlewood. This paper transformed the theory of Hardy spaces of analytic functions in the unit disc and extended and completed classical results of Marcinkiewicz concerning norms of conjugate functions and Hilbert transforms. While some connections between probability and analytic and harmonic functions had previously been known, this single paper persuaded many analysts to learn probability. These papers together with Burkholder's study of martingale transforms led to major advances in Banach spaces. A simple geometric condition given by Burkholder was shown by Burkholder, Terry McConnell, and Jean Bourgain to characterize those Banach spaces for which the analog of the Hilbert transform retains important properties of the classical Hilbert transform. Techniques involved in Burkholder's usually successful pursuit of best constants in martingale inequalities have become central to extensive recent research into two well- known open problems, one involving the two dimensional Hilbert transform and its connection to quasiconformal mappings and the other a conjecture in the calculus of variations concerning rank-one convex and quasiconvex functions. This book includes reprints of many of Burkholder's papers, together with two commentaries on his work and its continuing impact.