Rings Close to Regular

پیشگفتار فرض می شود که همه حلقه ها تداعی کننده هستند و (به جز حلقه های صفر و برخی موارد مشخص شده) دارای عناصر هویتی غیر صفر هستند. حلقه A منظم است اگر برای هر عنصر E A، عنصر b E A با a = aba وجود داشته باشد. حلقه های منظم به خوبی مطالعه شده اند. به عنوان مثال، [163] و [350] به حلقه های معمولی اختصاص داده شده است. اگر برای هر عنصر a E A، یک عنصر nb E A وجود داشته باشد، به حلقه A گفته می شود که برای یک عدد صحیح مثبت n = anba باشد. یک حلقه A به شدت tr-منظم است اگر برای هر E A یک عدد صحیح مثبت n با n 1 n E a + An Aa +1 وجود داشته باشد. در [128] ثابت شده است که A یک حلقه قوی tr منظم است اگر و فقط اگر برای هر عنصر a E A، یک عدد صحیح m مثبت با m 1 am E a + A وجود داشته باشد. هر حلقه قوی tr منظم tr- است. منظم [38]. اگر F یک حلقه تقسیم است و M یک فضای F بردار راست با پایه بی نهایت {ei}~l' است، سپس End(MF) یک حلقه منظم (و tr-منظم) است که به شدت tr-منظم نیست. حلقه فاکتور حلقه اعداد صحیح با توجه به ایده آل تولید شده توسط عدد صحیح 4 یک حلقه قوی tr-منظم است که منظم نیست.

Preface All rings are assumed to be associative and (except for nilrings and some stipulated cases) to have nonzero identity elements. A ring A is said to be regular if for every element a E A, there exists an element b E A with a = aba. Regular rings are well studied. For example, [163] and [350] are devoted to regular rings. A ring A is said to be tr-regular if for every element a E A, there is an element n b E A such that an = anba for some positive integer n. A ring A is said to be strongly tr-regular if for every a E A, there is a positive integer n with n 1 n an E a + An Aa +1. It is proved in [128] that A is a strongly tr-regular ring if and only if for every element a E A, there is a positive integer m with m 1 am E a + A. Every strongly tr-regular ring is tr-regular [38]. If F is a division ring and M is a right vector F-space with infinite basis {ei}~l' then End(MF) is a regular (and tr-regular) ring that is not strongly tr-regular. The factor ring of the ring of integers with respect to the ideal generated by the integer 4 is a strongly tr-regular ring that is not regular.