Rings and their modules

Cover......Page 1
About the Text......Page 6
Acknowledgements......Page 9
Contents......Page 10
0.1 Classes, Sets and Functions......Page 16
Partial Orders and Equivalence Relations......Page 17
Zorn’s Lemma and Well-Ordering......Page 18
0.4 Notation and Terminology......Page 19
Problem Set......Page 20
1.1 Rings......Page 22
Problem Set 1.1......Page 27
1.2 Left and Right Ideals......Page 29
Problem Set 1.2......Page 32
1.3 Ring Homomorphisms......Page 36
Problem Set 1.3......Page 39
1.4 Modules......Page 40
Factor Modules......Page 44
Problem Set 1.4......Page 45
1.5 Module Homomorphisms......Page 47
Problem Set 1.5......Page 51
Direct Products......Page 54
External Direct Sums......Page 58
Internal Direct Sums......Page 60
Problem Set 2.1......Page 64
2.2 Free Modules......Page 66
Rings with Invariant Basis Number......Page 71
Problem Set 2.2......Page 75
2.3 Tensor Products of Modules......Page 78
Problem Set 2.3......Page 84
3.1 Categories......Page 86
Functors......Page 90
Properties of Morphisms......Page 92
Problem Set 3.1......Page 94
3.2 Exact Sequences in ModR......Page 97
Split Short Exact Sequences......Page 99
Problem Set 3.2......Page 101
Properties of Hom......Page 105
Properties of Tensor Products......Page 109
Problem Set 3.3......Page 110
3.4 Equivalent Categories and Adjoint Functors......Page 112
Adjoints......Page 114
Problem Set 3.4......Page 117
4.1 Generating and Cogenerating Classes......Page 119
Problem Set 4.1......Page 121
4.2 Noetherian and Artinian Modules......Page 122
Problem Set 4.2......Page 133
4.3 Modules over Principal Ideal Domains......Page 135
Free Modules over a PID......Page 139
Finitely Generated Modules over a PID......Page 143
Problem Set 4.3......Page 149
5.1 Injective Modules......Page 150
Injective Modules and the Functor HomR(—,M)......Page 155
Problem Set 5.1......Page 157
5.2 Projective Modules......Page 159
Hereditary Rings......Page 163
Semihereditary Rings......Page 166
Problem Set 5.2......Page 167
Flat Modules and the Functor M R —......Page 169
Coherent Rings......Page 174
Regular Rings and Flat Modules......Page 178
Problem Set 5.3......Page 180
5.4 Quasi-Injective and Quasi-Projective Modules......Page 184
Problem Set 5.4......Page 185
6.1 The Jacobson Radical......Page 186
Problem Set 6.1......Page 192
6.2 The Prime Radical......Page 193
Prime Rings......Page 194
Semiprime Rings......Page 199
Problem Set 6.2......Page 201
6.3 Radicals and Chain Conditions......Page 203
Problem Set 6.3......Page 205
6.4 Wedderburn–Artin Theory......Page 206
Problem Set 6.4......Page 218
6.5 Primitive Rings and Density......Page 220
Problem Set 6.5......Page 225
6.6 Rings that Are Semisimple......Page 226
Problem Set 6.6......Page 230
7.1 Injective Envelopes......Page 231
Problem Set 7.1......Page 234
7.2 Projective Covers......Page 236
The Radical of a Projective Module......Page 238
Semiperfect Rings......Page 242
Perfect Rings......Page 252
Problem Set 7.2......Page 256
Quasi-Injective Envelopes......Page 260
Quasi-Projective Covers......Page 263
Problem Set 7.3......Page 267
The Noncommutative Case......Page 269
The Commutative Case......Page 276
Problem Set 8.1......Page 277
8.2 Modules of Quotients......Page 279
Problem Set 8.2......Page 282
8.3 Goldie’s Theorem......Page 285
Problem Set 8.3......Page 291
8.4 The Maximal Ring of Quotients......Page 292
Problem Set 8.4......Page 306
Graded Rings......Page 309
Graded Modules......Page 314
Problem Set 9.1......Page 320
9.2 Fundamental Concepts......Page 323
Graded Direct Products and Sums......Page 324
Graded Tensor Products......Page 326
Graded Free Modules......Page 327
Problem Set 9.2......Page 328
Graded Projective and Graded Injective Modules......Page 329
Graded Flat Modules......Page 333
Problem Set 9.3......Page 334
Graded Noetherian and Graded Artinian Modules......Page 335
The Graded Jacobson Radical......Page 340
Graded Wedderburn–Artin Theory......Page 342
Problem Set 9.5......Page 344
10 More on Rings and Modules......Page 346
10.1 Reflexivity and Vector Spaces......Page 347
Problem Set 10.1......Page 349
10.2 Reflexivity and R-modules......Page 350
Self-injective Rings......Page 351
Kasch Rings and Injective Cogenerators......Page 354
Semiprimary Rings......Page 356
Quasi-Frobenius Rings......Page 357
Problem Set 10.2......Page 361
11.1 Chain and Cochain Complexes......Page 363
Homology and Cohomology Sequences......Page 368
Problem Set 11.1......Page 372
11.2 Projective and Injective Resolutions......Page 374
Problem Set 11.2......Page 380
11.3 Derived Functors......Page 382
Problem Set 11.3......Page 387
Right Derived Functors of HomR(—, X)......Page 388
Right Derived Functors of HomR(X, —)......Page 396
Problem Set 11.4......Page 401
Left Derived Functors of — r X and X R —......Page 405
Problem Set 11.5......Page 409
12.1 Projective and Injective Dimension......Page 410
Problem Set 12.1......Page 417
12.2 Flat Dimension......Page 418
Problem Set 12.2......Page 422
12.3 Dimension of Polynomial Rings......Page 424
12.4 Dimension of Matrix Rings......Page 432
More on Reflexive Modules......Page 436
Problem Set 12.5......Page 443
Ordinal Numbers......Page 444
Cardinal Numbers......Page 448
Problem Set......Page 450
Bibliography......Page 452
List of Symbols......Page 456
Index......Page 458